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Diagonales d'un polygone à n côtés

Posté par
lalu28
14-09-14 à 16:56

Bonjour,

Ma question est la suivante :

"Combien de diagonales possède un polygone à n côtés ?"
Démontrez votre hypothèse par induction.

Un rectangle a deux diagonales, un pentagone en a cinq, un hexagone en a neuf… Entre 2 et 5, il y a 3. Entre 5 et 9, il y a 4. Alors logiquement, un heptagone devrait avoir 9 + 5 = 14 diagonales. De là il faut trouver une formule générale.
Peut-être n x (n-3) le tout divisé par 2 ?

Merci de vos réponses,

lalu28

Posté par
lalu28
re : Diagonales d'un polygone à n côtés 14-09-14 à 17:14

Pour ce genre de problème, faut-il essayer par tentatives, ce qui n'est pas très élégant, ou plutôt y a-t-il une méthode ?

Posté par
weierstrass
re : Diagonales d'un polygone à n côtés 14-09-14 à 17:20

Bonjour,
Démontre par récurrence le nombre de traits que l'on peut relier entre n points.
Par exemple, entre 5 points, on peut relier 10 traits...
Tu trouveras le nombre de diagonales en soustrayant le nombre de traits que l'on peut relier entre les points au nombre de côtés du polygone...
Pour un pentagone, on aura 10-5 = 5 diagonales...

Posté par
lalu28
re : Diagonales d'un polygone à n côtés 14-09-14 à 17:33

Oui, mais s'il faut démontrer la formule générale avec n ?

Posté par
weierstrass
re : Diagonales d'un polygone à n côtés 14-09-14 à 17:38

Tu démontre la formule générale avec n donnant le nombre de traits que l'on peut relier entre n points, et tu auras la formule générale donnant le nombre de diagonales...

Posté par
lalu28
re : Diagonales d'un polygone à n côtés 14-09-14 à 19:06

Ah, dans ce cas,

si, comme vous l'avez dit plus haut,
si n=5, le nombre de traits qu'on peut relier vaut 10.
si n=6, le nombre de traits que l'on peut relier vaut 14.
si n=7, le nombre de traits que l'ont peut relier vaut 21.

Depuis là...

nombre de diagonales = nbr de traits - n
Mais comment exprimer "nbr de traits" sous forme algébrique ? Que représente le nombre de traits par rapport à n ?

Posté par
weierstrass
re : Diagonales d'un polygone à n côtés 14-09-14 à 19:17

Bonjour, pour n=6, on obtient 15 traits...
Il s'agit des nombres en triangle, si tu connais...
si pour 5 points, on a 10 traits, pour 6 points, on a les 10 traits reliant les 5 points + les 6 traits reliant le 6eme point à chacun des points...
On a alors la formule n(n-1)/2 correspondant à la somme des n-1 premiers entiers...



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