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Diagonales polygone Termianle
Bonjour,
J'ai un exercice à faire pour la rentrée mais je suis en difficulté. Le voici :
Pour un polygone convexe, on souhaite compter le nombre de diagonales, c'est à dire le nombre de segments joignant deux sommets non consécutifs de ce polygone.
1) Déterminer le nombre de diagonales d'un triangle, d'un quadrilatère et d'un pentagone convexe (Je trouve : 0, 2 et 5)
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On considère la proposition Pn suivante "Un polygone convexe à n côtés possède n(n-3)/2 diagonales".
Que peut on vérifier d'après la question 1 ?
Ici je vérifie la formule avec le triangle le carré et le pentagone. Ca fonctionne
3) On suppose qu'il existe un entier naturel k>3 pour lequel Pk est vraie. On considère P un polygone convexe à k+1 sommets et on note A l'un de ses sommets.
a)Combien de diagonales comporte le polygone P' composé des k+1 sommets sauf A (donc P' possède k sommets) ?
Ici je ne sais pas vraiment ce qu'est ce polygone P' qui a un sommet en plus mais finalement qui n'en a pas puisqu'on enlève A ???
b) Combien y a y-il de diagonales de P partant du point A ? J'aurais dit k-3 car A ne peut pas se rejoindre lui même si les 2 sommets qui lui sont consécutifs.
c) En remarquant qu'un des côtés de P' est une diagonale de P, montrer que Pk+1 est vraie et conclure.
J'ai l'impression d'avoir compris la formule qui me semble plutôt logique mais je ne saisis pas vraiment les questions et comment le démontrer mathématiquement.
Merci d'avance pour votre aide
Pour 3)a), regarde ce qui se passe avec k = 4 par exemple.
Tu peux faire une figure.
ABCDE un polygone de 5 sommets.
Tu enlèves A. Tu te retrouves avec un quadrilatère BCDE
Tu sais combien il a de diagonales.
Ces diagonales sont aussi des diagonales de ABCDE. Mais aucune n'est issue de A.
C'est pour ça qu'au b) on s'intéresse aux diagonales de ABCDE qui partent de A.
Pour a), si on prend k=4, on trouve 5 diagonale c'est ça ?
Si je poursuit le raisonnement pour k=5 ou plus, je trouve qu'il y a toujours une diagonale en plus, la formule est donc k(k-3)/2 +1
Pour la b) c'est k-3 car A ne peut pas avoir de diagonal avec lui même ou avec les deux points proche de lui.
C'est bon ?
https://***Lien supprimé***
Voici la figure pour la a)
Edit Tilk_11 > Image récupérée pour cette fois-ci, la prochaine fois mets ton image directement sur l'
Clique sur le lien pour savoir comment procéder : 
[lien]
Pour le quadrilatère BCDE il y a 2 diagonales.
Quand on rajoute A, les diagonales à rajouter pour le polygone ABCDE sont :
1) Les 2 qui partent de A et vont vers les sommets qui ne sont ni B ni E.
Car AB et AE ne sont pas des diagonales.
Je crois que ça, tu l'as plus ou moins compris.
2) BE qui était un côté du quadrilatère BCDE et qui devient une diagonale pour le polygone ABCDE.
Si tu pars d'un polygone de k côtés.
Quand tu ajoutes un sommet de plus, tu vas avoir des diagonales en plus :
Celles qui partent du nouveau sommet.
Celle qui était un côté et qui est devenu une diagonale.
C'est ce qu'essaye de te faire comprendre les questions du 3).
PS Tu n'as pas répondu à
Au 2), précise les valeurs de n qui correspondent à ce que tu as trouvé au 1).
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