Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Diagonalisabilité
Bonjour,
je vous écris parce que je comprends mal un point de mon cours:
on a B une matrice diagonale qui est égale à P^(-1)AP avec donc A une matrice diagonalisable.
Ma question est la suivante: pourquoi dit-on que les colonnes de P forment nécessairement une base de vecteurs propres de A?
Je n'arrive pas visualiser pourquoi cela est vrai
Merci d'avance
Formulé autrement: si j'ai A et B deux matrices diagonalisables qui ont une base commune de vecteurs propres, pourquoi peut-on dire qu'il existe deux matrices diagonales A' et B' où:
A = P^(-1)A'P
B = P^(-1)B'P
c'est à dire qu'on peut utiliser la même matrice P inversible pour A et B
Bonjour,
La Matrice carrée A est la représentation d'une application linéaire (= un endomorphisme) f d'un espace vectoriel E sur une Base B1 de E . Si A est diagonalisable alors il existe une base B2 de E dans laquelle la matrice D qui représente de l'application linéaire f est diagonale. Il faut donc trouver la matrice de passage de P inversible de B1 à B2.
D=P-1A P.
Pour trouver la matrice P il faut calculer λ1; λ2, . . . les valeurs propres de f associées aux vecteurs propres v1, v2, . . . .La matrice de passage P = P(B1, B2) est constituée des coordonnées de v1, v2, . . . en colonnes.
mais ici on a les coordonnées de v1, v2, dans la base B1 (que l'on ne connait pas) et pas dans la base canonique, non ? pour avoir les vrais vecteurs propres, ne faudrait-il pas les avoir exprimés dans la base canonique ?
Bonsoir,
Je note D la matrice que tu appelles B (D diagonale, c'est plus facile)
Si on appelle B=(e1, ..., en) la première base (celle où on exprime A) et B'=(e1', ..., en') la "nouvelle" base (celle où on exprime D qui est diagonale).
Alors e1' = [1, 0, ..., 0]t est un vecteur propre de D càd que D*e1' - e1'=0
P-1AP*e1' - e1'=0 AP*e1' - P*e1'=0 (en multipliant par P)
Donc P*e1' est un vecteur propre de A.
Si on calcule P*e1', on obtient la 1ère colonne de P.
(et idem pour les autres colonnes)
En espérant t'avoir aidé 
Attention petite coquille, j'ai oublié les valeurs propres v1, v2, ...:
Je reprends les équivalences :
D*e1' - v1*e1'=0
P-1AP*e1' - v1*e1'=0 AP*e1' - v1*P*e1'=0 (en multipliant par P)
Ce qui donne la conclusion ci-dessus.
Bonsoir,
Je note D la matrice que tu appelles B (D diagonale, c'est plus facile)
Si on appelle B=(e1, ..., en) la première base (celle où on exprime A) et B'=(e1', ..., en') la "nouvelle" base (celle où on exprime D qui est diagonale).
Alors e1' = [1, 0, ..., 0]t est un vecteur propre de D càd que D*e1' - e1'=0
P-1AP*e1' - e1'=0 AP*e1' - P*e1'=0 (en multipliant par P)
Donc P*e1' est un vecteur propre de A.
Si on calcule P*e1', on obtient la 1ère colonne de P.
(et idem pour les autres colonnes)
En espérant t'avoir aidé
Bonjour,
Mais pourquoi avez-vous choisis e1' = [1, 0, ..., 0]t exactement comme vecteur propre de D ?
Bonsoir,
Bonjour,
Mais pourquoi avez-vous choisis e1' = [1, 0, ..., 0]t exactement comme vecteur propre de D ?
Car les vecteurs de la forme [0,...,1,0,...,0] sont des vecteurs propres évidents d'une matrice diagonales. Pour l'exemple j'ai choisi [1,0,...0].
Bien entendu, pour répondre complètement à la question initiale, il faut le faire avec tous les autres vecteurs propres. Mais le but de mon intervention était de montrer la mécanique sur un cas particulier pour expliquer d'où ça vient.
Bonne soirée
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac