Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Diagonalisation

Posté par
Marth 22-02-17 à 13:31

Bonjour j'ai un exercice sur les matrices dont je comprend pas du tout j'aurais besoin de votre aide voici le sujet:

A=\begin{pmatrix} 4 &2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix} 3 & -1 &0 \\ -1& 2 & -1\\ 0&-1 & 3 \end{pmatrix}
C=\begin{pmatrix} 1 &2 & -12\\ -1 & -2 & 6\\ 0& 0 & 2 \end{pmatrix}

1.Ces matrices sont-elles diagonalisables ?
2.Pour les matrices diagonalisables, les écrire sous la forme PDP-1 avec P une matrice inversible et D une matrice diagonale.

Posté par
jarod128re : Diagonalisation 22-02-17 à 13:38

Bonjour.
Pour la 1. Pour A et B comment sont ces deux matrices ? Ton cours te donne la réponse normalement

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 22-02-17 à 14:43

Bonjour,
pour la 1.C, tu calcules facilement son polynôme caractéristique qui est X(X-2)(X+1) donc ...

Question alors : comment trouve-t-on une base diagonalisante pour ces trois matrices ?
Et donc, question préliminaire : qu'est-ce qu'une base diagonalisante ?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 23-02-17 à 02:17

Pour la première question je justifie avec le cours et le C je fais comment alors ?

Posté par
Flewerre : Diagonalisation 23-02-17 à 02:40

Mais quel théorème utilises-tu pour dire que A et B sont diagonalisables ?

Pour C, jsvdb donne la réponse...

Il faut que tu revois ton cours..

Posté par
Marthre : Diagonalisation 23-02-17 à 21:25

Je vient de revoir mon cours

Posté par
Marthre : Diagonalisation 23-02-17 à 21:46

1. A=PDP-1
P-1A=DP-1
P-1AP=D
AP=PD

Posté par
Marthre : Diagonalisation 24-02-17 à 02:06

C'est bien sa qu'il faut faire ?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 24-02-17 à 02:09

J'aurais besoin d'aide pour finir l'exercice le plus rapidement possible je sais pas si je suis dans la bonne piste avec ma réponse à 21h46

Posté par
Flewerre : Diagonalisation 24-02-17 à 04:34

Tu n'as toujours pas cité le théorème du cours que l'on attend.
Et je ne comprends rien à ton post à 21h46.

Posté par
Marthre : Diagonalisation 24-02-17 à 15:24

C'était ma réponse pour la première question dans mon cours j'ai aucun théorème que des définitions et des propositions

Posté par
ThierryPomare : Diagonalisation 24-02-17 à 15:33

Bonjour,

Quelle est la particularité des matrices A et B ?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 24-02-17 à 17:07

A=\begin{pmatrix} 4 &2 \\ 2 &1 \end{pmatrix}

Cherchons les valeurs propres de A:
PA=det(A-I2)
                              =(4-)

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 24-02-17 à 17:35

Ah non P_A(\lambda) = \det(A - \lambda.I_2) = (4-\lambda)(1-\lambda)-4= \lambda^2-5\lambda = \lambda.(\lambda-5)

Posté par
Marthre : Diagonalisation 24-02-17 à 18:18

Pour B et C je dois m'y prendre comment vu qu'il y'a 3 lignes et 3 colonnes

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 24-02-17 à 18:25

Restons sur A et dis moi quelles sont ses valeurs propres !

Posté par
Marthre : Diagonalisation 24-02-17 à 19:38

Valeur propre de A:
=5

Posté par
Marthre : Diagonalisation 24-02-17 à 20:01

C'est pas sa ? Vu qu'on a le polynôme caractéristique  on peut donner la valeur propre

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 24-02-17 à 20:13

P_A(\lambda) = \lambda.(\lambda-5)

Les valeurs propres de A sont les valeurs de \lambda pour lesquelles le polynôme P_A s'annule. Donc \lambda = 5 et \lambda = 0

Peux-tu trouver des vecteurs propres ?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 24-02-17 à 23:01

V=(x1,x2,x3)T
V est un vecteur propre de =5 si MV=5V

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 25-02-17 à 00:03

Alors allons-y pour la valeur 5 tu résous ce système :

\begin{pmatrix} -1 &2 \\ 2 &-4 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}

et pour la valeur 0 tu résous ce système

\begin{pmatrix} 4 &2 \\ 2 &1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}

Ensuite on verra pour fabriquer la matrice de passage.

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 00:46

Pour la valeur 5:
-x+2y=x
2x-4y=y

Pour la valeur 0:
4x+2y=x
2x+y=y

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 01:09

C'est correct ?

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 25-02-17 à 01:15

Non c'est

Pour la valeur 5:
-x+2y=0
2x-4y=0     d'où v_5 = ...

Pour la valeur 0:
4x+2y=0
2x+y=0   d'où v_0 = ...

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 01:32

Faut isoler les x et y non ?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 12:32

??

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 14:15

Y'a quelqu'un ?

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 25-02-17 à 15:54

tu t'inspires de celui-ci : Matrices diagonales

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 16:41

J'ai pas trop compris pour avoir les coordonnées de v5 et de v0 comment on s'y prend

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 25-02-17 à 17:49

Tu l'as dit toi-même :

Marth @ 24-02-2017 à 23:01

v_5 est un vecteur propre de =5 si MV=5V


Si tu pose v_5 = (x,y)^t, il te faut résoudre \begin{pmatrix} 4 &2 \\ 2 &1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}

C'est-à-dire le système :

\begin{cases}4x+2y = 5x \\ 2x+y = 5y  \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-x+2y = 0 \\ 2x-4y = 0  \end{cases}\Leftrightarrow x = 2y. On peut prendre par exemple v_5 = (2,1)^t

Tu fais pareil pour la valeur propre 0.

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 18:18

Si on  pose v0 = (x,y)t il  faut résoudre
\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2&1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x y \end{pmatrix} =0\begin{pmatrix} x y \end{pmatrix}

C'est-à-dire le système :
4x+2y=x
2x+y=y

3x+2y=0
2x=0

Posté par
jarod128re : Diagonalisation 25-02-17 à 18:29

Parfois ça me fait peur.
Tu ne sais pas multiplier par 0?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 18:42

C'est bien sa ?

Posté par
jarod128re : Diagonalisation 25-02-17 à 18:46

ben non. Revois le résultat de 0*x

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 18:50

0*x ??

Posté par
jarod128re : Diagonalisation 25-02-17 à 18:58

ca fait combien?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 19:20

x

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 19:20

Pardon 0

Posté par
jarod128re : Diagonalisation 25-02-17 à 19:21

C'est ce que je pensais, un petit malin!

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 19:30

C'est-à-dire le système :
4x+2y=0
2x+y=y

4x+2y=0
2x=0

Posté par
jarod128re : Diagonalisation 25-02-17 à 19:33

Tu fais quoi comme étude?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 22:06

Economie et gestion

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 22:07

C'était pas sa ? Pourtant j'ai rectifier

Posté par
jarod128re : Diagonalisation 25-02-17 à 22:18

Et tu ne tires aucune leçon de tes erreurs pour les refaire immédiatement ???

Posté par
jsvdbre : Diagonalisation 25-02-17 à 22:55

Marth @ 25-02-2017 à 18:18

Si on  pose v0 = (x,y)t il  faut résoudre
\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2&1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} =0\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}


Ça donne \begin{cases}4x+2y = 0 \\ 2x+y = 0  \end{cases}\Leftrightarrow -2x = y. \\

On peut prendre par exemple v_0 = (1,-2)^t
On avait pris  v_5 = (2,1)^t
Donc on peut former notre matrice de passage P = (v_5,v_0) = \begin{pmatrix}2 &1 \\ 1 & -2\end{pmatrix} et il vient :
A = P.\begin{pmatrix} {\blue 5} &0 \\ 0 & {\blue 0}\end{pmatrix}.P^{-1}

Posté par
Marthre : Diagonalisation 25-02-17 à 23:59

Donc pour A c'est fait il reste plus que B et C ?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 26-02-17 à 13:54

Pour B et C on a 3 lignes et 3 colonnes on doit s'y prendre comment ?

Posté par
Marthre : Diagonalisation 26-02-17 à 14:42

Cet exercice peut se faire à la calculatrice TI-nspire CAS ?  vu que j'en ai une

Posté par
ThierryPomare : Diagonalisation 26-02-17 à 15:05

Bonjour,

Penses-tu que c'est ce que va trouver ta calculatrice qui nous intéresse ici ? L'on s'en fiche complètement. Tout ce que je constate, c'est que Jsvdb et Jarod ont pris de leurs temps respectifs pour te guider, voire pour te donner une solution toute faite, alors que toi, tu ne fais manifestement aucun effort ; mais vraiment aucun. Cela me semble très clair. Tout cela me désole et m'inquiète également.

Posté par
Marthre : Diagonalisation 26-02-17 à 16:14

Pour trouver les valeurs propres associès à B j'ai des difficultés

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !