Bonsoir/ Bonjour,
J'ai une matrice M=
exp(2i*pi/3) | exp(4i*pi/3) | 1 |
exp(4i*pi/3) | 1 | exp(2i*pi/3) |
1 | exp(2i*pi/3) | exp(4i*pi/3) |
Bonsoir
la trace est la somme des valeurs propres multipliées par leurs multiplicités algébriques, mais je ne vois pas tout de suite le rapport avec le fait que 0 est la seule valeur propre
Il n'y a rien de plus dans le corrigé ?
Bonsoir,
Effectivement, je ne vois pas le lien. Sinon comme c'est une petite matrice, pourquoi ne pas faire les calculs.
Allez courage un petit Calcul :
Bonjour,
Je ferais le calcul ce soir .
D'ailleurs, excusez moi, étant fatigué hier je n'ai pas vu l'astérisque qui précisait cela.
Il est écrit " dans une base obtenue en compétant une base de C3 de l'endomorphisme f canoniquement associé a M la matrice de f est triangulaire supérieur de trace nulle. "
Mais je crois ne pas avoir bien compris
Réctification:" dans une base obtenue en compétant une base Du noyaU de C3 de l'endomorphisme f canoniquement associé a M la matrice de f est triangulaire supérieur de trace nulle. "
Merci Razes je ferais ça ce soir.
Tres bien malou, je ferais ça, j avais pas trop cherché et les tableaux illustraient pas mal je trouve
Puisque le rang est 1, la multiplicité de 0 comme valeur propre est au moins égale à 2 (la dimension du noyau, qui est le sous-espace propre associé à la valeur propre 0) : les valeurs propres sont 0, 0 et ?.
Et puisque la trace, c.-à-d. la somme des valeurs propres, est nulle, il n'est pas dur de trouver qui est ?
Bonsoir,
Merci vos réponse.
Du coup pour montrer que sp(M)=0 est ce que ce qui suit est juste? (indépendamment de la question de la diagonalisabilité).
Les valeurs propres sont : 0,0,?
tr(M)=0
Si M est diagonalisable alors il existe P appartenant a M3,3(R) ,P inversible, tels que D=P-1MP.
Tr(D)=Tr(P-1MP)=Tr(M)=0 donc ?=0
Si M n'est pas diagonalisable et ?0
La dimension de la somme des espace propre est strictement inferieur a 3. Alors dimE0(M)+dim E?(M)<=2.
Donc dim E?(M)=0=>E?(M)=03,1=> ? n'est pas valeurs propre si il est différent de 0.
Donc sp(M)=0
Ce que tu écris ne va pas tellement.
Revenons à ce que tu n'as pas compris :
" Dans une base de obtenue en complétant une base du noyau de l'endomorphisme f canoniquement associé à , la matrice de est triangulaire supérieur de trace nulle. "
Tu écris la matrice de dans une base où est une base du noyau de Quelle tête a cette matrice ? Quelle est sa trace ? Qu'en déduis tu sur les valeurs propres de ?
Soit (a,b,c) 3 éléments de R tels que f(e3)=ae1+be2+ce3)
Alors la matrice de f dans la base B est: M=.
Du coup tr(M)=c et elle sp(M)=(0,c)
Non, M, c'est ta matrice de départ. Là, tu à la matrice de l'endomorphisme f canoniquement associé à M, dans une autre base que la base canonique : elle est semblable à M.
Je repose la question : quelle est la trace de cette matrice ?
M est semblable à B=
et tr(M)=0
Donc c=0
Donc sp(B)=(0)
Or sp(M)= sp(B) ( démontrable)
Donc sp(M)=(0)
C'est correct?
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