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Diagonalisation

Posté par
CptLapinus
22-11-20 à 23:36

Bonsoir/ Bonjour,
J'ai une matrice M=

exp(2i*pi/3)exp(4i*pi/3)1
exp(4i*pi/3)1exp(2i*pi/3)
1exp(2i*pi/3)exp(4i*pi/3)


J'ai réussi a montré que le rang valait 1 et que la trace valait 0. Pour la diagonalisabilité, on déduit que l'espace propre associé a la valeur propre 0 vaut 2, mais en me référant au corrigé, il est écrit que " trace(M)=0. donc 0 est la seule valeur propre". Je vois pas bien le rapport, quelqu'un pourrait m'expliquer s'il vous plaît.

Posté par
Zormuche
re : Diagonalisation 22-11-20 à 23:53

Bonsoir

la trace est la somme des valeurs propres multipliées par leurs multiplicités algébriques, mais je ne vois pas tout de suite le rapport avec le fait que 0 est la seule valeur propre
Il n'y a rien de plus dans le corrigé ?

Posté par
Razes
re : Diagonalisation 23-11-20 à 02:14

Bonsoir,

Effectivement, je ne vois pas le lien. Sinon comme c'est une petite matrice, pourquoi ne pas faire les calculs.

M=\begin{pmatrix}e^{i\frac{2\pi }{3}} & e^{i\frac{4\pi }{3}} & 1\\  e^{i\frac{4\pi }{3}}& 1 &e^{i\frac{2\pi }{3}} \\ 1 &e^{i\frac{2\pi }{3}}  & e^{i\frac{4\pi }{3}}\end{pmatrix}

tr(M)=1 +e^{i\frac{2\pi }{3}} + e^{i\frac{4\pi }{3}}=0

Allez courage un petit Calcul : \begin{vmatrix}e^{i\frac{2\pi }{3}}-\lambda  & e^{i\frac{4\pi }{3}} & 1\\ e^{i\frac{4\pi }{3}}& 1-\lambda &e^{i\frac{2\pi }{3}} \\ 1 &e^{i\frac{2\pi }{3}}  & e^{i\frac{4\pi }{3}}-\lambda\end{vmatrix}=...

Posté par
CptLapinus
re : Diagonalisation 23-11-20 à 07:13

Bonjour,
Je ferais le calcul ce soir .
D'ailleurs, excusez moi, étant fatigué hier je n'ai pas vu l'astérisque qui précisait cela.
Il est écrit " dans une base obtenue en compétant une base de C3 de l'endomorphisme f canoniquement associé a M la matrice de f est triangulaire supérieur de trace nulle. "
Mais je crois ne pas avoir bien compris

Posté par
CptLapinus
re : Diagonalisation 23-11-20 à 07:17

Réctification:" dans une base obtenue en compétant une base Du noyaU de C3 de l'endomorphisme f canoniquement associé a M la matrice de f est triangulaire supérieur de trace nulle. "

Posté par
Razes
re : Diagonalisation 23-11-20 à 07:40

Bonjour,

Et si déterminais la base ce noyau.

Posté par
malou Webmaster
re : Diagonalisation 23-11-20 à 07:58

Bonjour à tous
CptLapinus, aide à l'écriture des matrices :
choisir l'éditeur Ltx
Diagonalisation
puis
Diagonalisation
Bonne journée

Posté par
CptLapinus
re : Diagonalisation 23-11-20 à 08:09

Merci Razes je ferais ça ce soir.
Tres bien malou, je ferais ça, j avais pas trop cherché et les tableaux illustraient pas mal je trouve

Posté par
GBZM
re : Diagonalisation 23-11-20 à 10:06

Puisque le rang est 1, la multiplicité de 0 comme valeur propre est au moins égale à 2 (la dimension du noyau, qui est le sous-espace propre associé à la valeur propre 0) : les valeurs propres sont 0, 0 et ?.
Et puisque la trace, c.-à-d. la somme des valeurs propres, est nulle, il n'est pas dur de trouver qui est ?

Posté par
Zormuche
re : Diagonalisation 23-11-20 à 10:37

GBZM en effet, c'était évident comme ça...

Posté par
CptLapinus
re : Diagonalisation 23-11-20 à 19:27

Bonsoir,
Merci vos réponse.
Du coup pour montrer que sp(M)=0 est ce que ce qui suit est juste? (indépendamment de la question de la diagonalisabilité).
Les valeurs propres sont : 0,0,?
tr(M)=0
Si M est diagonalisable alors il existe P appartenant a M3,3(R) ,P inversible, tels que D=P-1MP.
Tr(D)=Tr(P-1MP)=Tr(M)=0 donc ?=0

Si M n'est pas diagonalisable et ?\neq0
La dimension de la somme des espace propre est strictement  inferieur a 3. Alors dimE0(M)+dim E?(M)<=2.
Donc  dim E?(M)=0=>E?(M)=03,1=> ? n'est pas valeurs propre si il est différent de 0.

Donc sp(M)=0

Posté par
GBZM
re : Diagonalisation 23-11-20 à 19:37

Ce que tu écris ne va pas tellement.

Revenons à ce que tu n'as pas compris :
" Dans une base de \C^3 obtenue en complétant une base du noyau de l'endomorphisme f canoniquement associé à M,  la matrice de f est triangulaire supérieur de trace nulle. "

Tu écris la matrice de f dans une base (e_1,e_2,e_3) (e_1,e_2) est une base du noyau de f. Quelle tête a cette matrice ? Quelle est sa trace ? Qu'en déduis tu sur les valeurs propres de f ?

Posté par
CptLapinus
re : Diagonalisation 23-11-20 à 19:46

Soit (a,b,c) 3 éléments de R tels que f(e3)=ae1+be2+ce3)
Alors la matrice de f dans la base B est: M=\begin{pmatrix} 0& 0&a\\ 0&0 &b \\ 0&0&c \end{pmatrix}.
Du coup tr(M)=c et elle sp(M)=(0,c)

Posté par
GBZM
re : Diagonalisation 23-11-20 à 19:58

Non, M, c'est ta matrice de départ. Là, tu à la matrice de l'endomorphisme f canoniquement associé à M, dans une autre base que la base canonique : elle est semblable à M.
Je repose la question : quelle est la trace de cette matrice ?

Posté par
CptLapinus
re : Diagonalisation 23-11-20 à 20:14

Ah oui, tr(M)=0

Posté par
GBZM
re : Diagonalisation 23-11-20 à 20:48

Conclusion ?

Posté par
CptLapinus
re : Diagonalisation 23-11-20 à 21:26

M est semblable à B=  \begin{pmatrix} 0& 0&a \\ 0& 0& b\\ 0&0 & c \end{pmatrix}
et tr(M)=0
Donc c=0
Donc sp(B)=(0)
Or sp(M)= sp(B)   ( démontrable)
Donc sp(M)=(0)
C'est correct?

Posté par
GBZM
re : Diagonalisation 23-11-20 à 22:26

Je pense que tu as maintenant compris l'indication.



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