Niveau maths spé

Diagonalisation d'une matrice 4x4

Posté par
Tonio1804 09-01-17 à 21:35

Bonsoir.

J'ai quelques difficultés à déterminer le caractère diagonalisable de la matrice suivante :

$A = \begin{pmatrix} \\ 1 &1 &1 &a \\ \\ 1& 1 & a & 1\\ \\ 1&a &1 &1 \\ \\ a& 1& 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

J'ai voulu tout simplement poser le système $AU=\lambda U$ avec $U=\begin{pmatrix} \\ x\\ \\ y\\ \\ z\\ \\ t \\ \end{pmatrix}$ non nul et $\lambda \in \mathbb{C}$ mais ça me donne bien sûr un système assez compliqué.
Le calcul du polynôme caractéristique ou minimal n'est pas vraiment plus simple donc je sèche.

La seule chose que j'ai pu remarquer c'est que la somme de chaque ligne est égale à 3+a donc (3+a) est valeur propre de A associé au vecteur propre $\begin{pmatrix} \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

Des idées pour la diagonalisation ?

Merci

Posté par re : Diagonalisation d'une matrice 4x4 09-01-17 à 22:28

Bonsoir Tonio1804

Je trouve le polynôme caractéristique suivant :

$P(X) = X^4 - 4X^3 + 2(1-a^2) X^2 +4(a-1)^2X + \underbrace{(a^4-6a^2+8a-3)}_{=(a-1)^3(a+3)}=(X - (a-1))(X+(a-1))^2(X-(a+3))$

Sauf erreur

Posté par re : Diagonalisation d'une matrice 4x4 09-01-17 à 22:40

Bonsoir !

Merci pour votre réponse. J'aboutis au même résultat après un gros calcul tout de même bien qu'on obtienne relativement facilement les coefficients devant $X^4$ , $X^3$ et $X^0$ .
Après, j'en reviens à résoudre mon système avec les différentes valeurs propres possibles pour tester si ce sont des valeurs propres et quelle est la dimension de leur espace propre associé et ça reste assez long mais bon ça marche...

Me demande s'il n'y a pas plus astucieux

Merci beaucoup !

Posté par re : Diagonalisation d'une matrice 4x4 09-01-17 à 22:53

En effet, vu la matrice, tu regardes l'image des vecteurs formés de 0 et de 1 :

$\begin{pmatrix}1 &1 &1 &a \\1 &1 &a &1\\1 &a &1 &1 \\a &1 &1 &1 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} \varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\varepsilon_3\\ \varepsilon_4 \\ \end{pmatrix} = ...$

Tu trouves des vecteurs propres intéressants : (1,-1,-1,1) (1,1,1,1) (1,0,0,-1) (0,1,-1,0)

Posté par re : Diagonalisation d'une matrice 4x4 09-01-17 à 23:57

bonsoir,
pour calculer det(A-I)
*tuajoutes les lignes 2,3,4 à la première ce qui te permet de mettre  en facteur3+a- comme tu l'as remarqué
*tu retranches la première colonne à chacune des autres,cela donne
1    0     0       0
1   -  a-1     0
1  a-1  -       0
a   1      1       1--a

qui se factorise très facilement

Posté par re : Diagonalisation d'une matrice 4x4 10-01-17 à 20:03

D'accord merci beaucoup à vous deux.
Je me demandais s'il y a une astuce puisqu'un ami a trouvé une correction (enfin plutôt une solution) disant directement :

$A=Q \Delta Q^{-1}$

avec $\Delta = Diag(3+a,1-a,1-a,a-1)$

et $Q=\begin{pmatrix} \\ 1 & 1& 1 & 0\\ \\ 1& 0& -1& 1\\ \\ 1& 0& -1&-1 \\ \\ 1& -1 & 1&0 \\ \end{pmatrix}$

Exercice 2705 :

Posté par re : Diagonalisation d'une matrice 4x4 10-01-17 à 22:28

>>Tonio
ll faut savoir lire les colonnes et les lignes de la matrice
tu peux remarquer que
[tex]f(e_1)-f(e_4)=(1-a)(e_1-e_4)
f(e_2)-f(e_3)=(1-a)(e_2-e_3)[
f(e_1+e_4-e_2-e_3)=.../tex]

Posté par re : Diagonalisation d'une matrice 4x4 10-01-17 à 22:32

il manque un crochet au dernier[ tex] désolée j'ai de gros problèmes de vue

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