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Niveau école ingénieur
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Diagonalisation - valeur propre

Posté par
raphgr38
10-08-18 à 11:26

Bonjour,
Après diagonalisation de la matrice:
2  1  -1
2  2  -2
1  1  0

J'obtiens (avec sarrus) : -2+a -4+a - (0-a^3 -2 +2)= -2+a-4+a+a^3

Pouvez-vous me dire si ce début de calcul est bon?

Merci par avance

Posté par
DOMOREA
Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 11:38

bonjour,
non c'est faux det(M-aI)=0 possède 3 racines évidentes dont une double. Tu peux refaire tes calculs

Posté par
raphgr38
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 11:50

Merci Domorea pour votre réponse rapide.
J'ai changé de méthode et j'obtiens:
2-a((2-a*0-a)+2) -2((1*0-a)+1)+ 1(-2-(2-a*-1))

Le problème c'est que je ne sais pas trop comment poursuivre le calcul notamment à cause de ce style de calculs: 2-a*0-a
est-ce que je dois faire 2*0+a^2 ?? dsl pour cette question très bête qui me pose bien des problèmes

Posté par
mousse42
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 12:15

Bonjour,

Voici une piste :

\begin{vmatrix}2-x&1&-1\\2&2-x&-2\\1&1&-x\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2-x&1&-1\\2-x&2-x&-2\\2-x&1&-x\end{vmatrix}=(2-x)\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&2-x&-2\\1&1&-x\end{vmatrix}

Posté par
mousse42
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 12:22

et une autre piste :

P(X)=(-1)^nX^n+(-1)^{n-1}\text{Tr}(A)X^{n-1}+\cdots +\det(A)

Ainsi ton polynôme doit ressembler à :

P(X)=-X^3+4X^2+ \cdots +\det(A)

Posté par
raphgr38
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 12:32

Merci Mousse24, je ne comprends pas trop votre méthode je ne suis pas très à l'aise avec les maths. Je vais rester sur ma méthode.
Par contre pouvez-vous peut-être me dire combien font 2-a*0-a , ce calcul me bloquant toujours

Posté par
mousse42
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 12:42

raphgr38

C'est quoi a*0, tu veux dire a multiplié par 0? je vois également dans ta formule :

Citation :

2-a((2-a*0-a)+2) -2((1*0-a)+1)+ 1(-2-(2-a*-1))


ça veut dire quoi ce a*?

Posté par
raphgr38
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 12:52

oui tout à fait:   2-a   x(fois)   0-a

Pour votre question: 2-a   x(fois)   -1

Merci

Posté par
mousse42
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 13:02

C'est un calcul élémentaire niveau 6ème, que proposes-tu?

Posté par
raphgr38
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 13:31

0+a^2
et
-2+a

Posté par
mousse42
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 13:59

raphgr38 @ 10-08-2018 à 12:52

oui tout à fait:   2-a   x(fois)   0-a

Pour votre question: 2-a   x(fois)   -1

Merci


Voici les réponses :

2-a.(-1)=2+a

2-a.0-a=2-a

2-a.(0-a)=2+a^2

Peux-tu faire un effort de rédaction , s'il te plait pour tes prochaines questions, car tes résultats sont très difficiles à lire.

De plus tu donnes un résultat intermédiaire, l'idéal est de donner l'intégralité de ton raisonnement.
Tu parles également d'une autre méthode. quelle methode?

Posté par
raphgr38
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 14:27

Merci je parlais comme méthode de sarrus ou du développement par une ligne ou une colonne.

J'ai essayé d'avancer l'exercice avec votre réponse.

2-\lambda ((2+\lambda ^{2 })+2) -2((0-\lambda)+1) +1(-2+2-\lambda )

2-2\lambda -\lambda ^{3}+2+2\lambda -2 -2+2 - \lambda

Posté par
mousse42
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 14:34

Si je prends ta dernière ligne et que je termine la simplification de l'expression on a :

2-2\lambda -\lambda ^{3}+2+2\lambda -2 -2+2 - \lambda=\blue{ -\lambda^3-\lambda +2}

or P(\lambda)=-\lambda^3+4\lambda^2+ \cdots +\det(A) donc c'est faux.

Posté par
mousse42
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 15:04

Peux-tu me donner la toute première expression (méthode de Sarrus).

Tout ça en Latex , s'il te plait .

Posté par
raphgr38
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 15:15

Oui bien sûr mais je vais essayer de garder la méthode en développant avec une ligne ou colonne ayant du mal à faire les produits avec \lambda

Avec sarrus: ((2-\lambda *2-\lambda*0-\lambda)+(1*-2*1)+(-1*2*1))-((1*2-\lambda*-1)+(2-\lambda*-2*1)+(1*2*0-\lambda))

Voila,
Vous est-il possible de m'indiquer où je me suis trompé dans la 1er méthode.

Merci

Posté par
mousse42
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 16:22

raphgr38, tu as un problème de parenthèse
ça devrait commencer comme ça :

(2-\lambda)(2-\lambda)(-\lambda)\cdots

Tu devrais faire une pause et travailler les opérations élémentaires.

0-\lambda =-\lambda : inutile de promener des zéros par-ci par-là.

Si tu veux multiplier la quantité 2-\lambda  par deux. Tu n'as pas le droit d'écrire 2-\lambda \cdot 2. Car dans ce dernier cas tu multiplies seulement \lambda par deux .
Tu dois travailler les règles concernant la priorité des opérations., comment calculer un déterminant qui n'est pas une opération facile si on ne maîtrise pas ces choses élémentaires...


Bon je ne reviendrai plus sur cette question voici la réponse :


La méthode de Sarrus

\begin{matrix}2-x&1&-1&2-x&1\\2&2-x&-2&2&2\\1&1&-x&1&1\end{matrix}

ça donne :

\bigg[-x(2-x)^2+(-2)+(-2)\bigg] - \bigg[-2x+(-2)(2-x)+-1(2-x)\bigg]=\bigg[-x(x-2)^2-4\bigg]-\bigg[x-6\bigg]=\cdots=-x^3+4x^2-5x+2

Le développement par rapport à une colonne :


\begin{vmatrix}2-x&1&-1\\2&2-x&-2\\1&1&-x\end{vmatrix}\underset{\substack{C_1=C_1+C_2+C_3}}{=}\begin{vmatrix}2-x&1&-1\\2-x&2-x&-2\\2-x&1&-x\end{vmatrix}=(2-x)\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&2-x&-2\\1&1&-x\end{vmatrix}\underset{\substack{C_2=C_2-C_1&C_3=C_3+C_1}}{=}(2-x)\begin{vmatrix}1&0&0\\1&1-x&-1\\1&0&1-x\end{vmatrix}=(2-x)\begin{vmatrix}1-x&-1\\0&1-x\end{vmatrix}=(2-x)(1-x)^2

Bon courage

Posté par
raphgr38
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 16:31

Merci beaucoup pour votre aide.
J'espère que je vais m'en sortir

Posté par
mousse42
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 17:35

de rien

II suffit de bien identifier tes lacunes et les traiter une bonne fois pour toute.

Posté par
carpediem
re : Diagonalisation - valeur propre 10-08-18 à 22:37

salut

avec les définitions de base et en notant (i, j, k) la base dans laquelle est donnée la matrice

A(i + j + k) = 2(i + j + k) donc 2 est valeur propre

A(i + k) = i + k donc 1 est valeur propre

et trivialement la trace de A dit que 1 est à nouveau valeur propre ...


quand je ne sais pas calculer je préfère penser ...

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