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diagonaliser une matrice et changement de base
Bonjour !
J'ai toujours un problème avec ce type de questions ! j'aimerais que quelqu'un m'explique la résolution de cet exercice svp.
Je tiens à m'excuser d'avoir inséré des images de l'énoncé et de la correction au lieu de les taper et j'explique pq :
* mon accès à internet est limité en temps.
* je ne sais pas écrire les matrice et racine en latex
* et enfin c pour exposer directement là ou je bloque et d'ailleurs je vais presque tout recopier
voilà, j'espère que les images ne vont pas être supprimées...
ou est l'erreur dans mon raisonnement ?
la question est de diagonaliser la matrice M;
M est la matrice d'une forme bilinéaire symétrique, diagonaliser une matrcice c'est chercher une nouvelle base B' sur laquelle M est diagonale, donc on fait un changement de base et on commence par déterminer la matrice de passage P et puisque c'est une f.b.s la formule de changement de base c'est
j'ai cherché les valeurs propres (7 et 1) et puis pour les vecteurs propres j'ai trouvé (1,1,1) pour le s.espace associé à 7 mais pour le 1 je trouve bien l'équation x+y+z=0 , donc je peux prendre les vecteurs ((1,0,-1) et (0,1,-1)) non ? Mais dans ce cas si je fais mon résultat est faux !
alors je me suis dis que peut-être je dois procéder comme dans les endomorphisme et utiliser la formule pour ça j'ai déterminé
et fais le produit mais ça marche pas non plus !
alors ma première question est est ce que je dois utiliser la formule ou
?
dans la solution ils ont pris les valeurs des vecteurs propres qui donnent une base orthogonale (et dans ce cas on a ) comment peut-on "deviner" directement les vecteurs qu'il faut choisir et comment déterminer ensuite la base orthonormée ?
merci beaucoup 
Salut
Tu n'as pas orthonormé tes vecteurs propres, donc ta matrice de passage P n'est pas orthogonale.
Bonjour,
Il y a un problème dans ton calcul.
Tes valeurs propres et vecteurs propres sont bons, pas de soucis ici. C'est ensuite que tu dois te tromper.
Si v1=(1,1,1),v2=(1,0,-1),v3=(0,-1,1) sont tes trois vecteurs propres formant une base de E, alors la matrice de P est donnée par :
et si tu refais le calcul, tu vas voir que .
Jusque là, tu n'as aucune raison de prendre à la place de
.
En effet, ta base de diagonalisation n'est pas orthonormée(ni même orthogonale).
C'est pour cela que la correction prend soin de choisir le vecteur u=(1,-2,1)=v2-2v3 à la place de v3.
Tu constates que (v1,v2,u) forment maintenant une base orthogonale de E dans laquelle M est diagonalisée. Sans peine, on peut la rendre orthonormée en prenant (v1/||v1||,v2/||v2||,u/||u||)=(b1,b2,b3).
Comme la base (b1,b2,b3) est orthonormée, la matrice de passage T de (e1,e2,e3) vers (b1,b2,b3) est une matrice orthogonale et vérifie donc .
Pour T, il revient donc au même d'écrire que .
Merci pour ta réponse c'est clair, je vais refaire le calcul de
mais dis moi, pq on diagonalise avec cette formule : alors que M est une matrice d'une fbs et donc la formule de changement de base devrait être
??
Algèbre : matrice de passage !
et puis comment as-tu dirctement vu que (v1,v2,u) forment une base orthogonale ? je veux dire que quand j'ai mes trois vecteurs (v1,v2,v3) je dois chercher des combinaisons linéaires entres eux pour avoir une base (v'1,v'2,v'3) tq le produit scalaire deux a deux soit nul ?
merci encore
Une matrice peut s'interpréter de plein de façons différentes : en particulier comme la matrice d'un endomorphisme, la matrice d'une forme bilinéaire etc...
Il faut juste bien comprendre ce que veut dire "écrire dans une base la matrice de ...".
La discussion que j'ai faite avec a été faite au sens des endomorphismes, j'ai effectué un changement de base pour l'endomorphisme associé à la matrice M.
Bien sur, en terme de forme bilinéaire symétrique, ce n'est pas un changement de base puisque je t'ai dit que la matrice de passage n'était pas orthogonale.
Pour voir que les vecteurs sont orthogonaux ou pas, il suffit de regarder le produit scalaire deux à deux des colonnes: v1.v2=0, v1.v3=0 et v2.v3=1.
Il suffit de chercher un candidat u=av2+bv3 de sorte que : v1.u=0 et v2.u=0 pour avoir une base orthogonale (v1,v2,u).
Je vais faire confiance à mon logiciel de calcul pour .
Tu peux vérifier
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