ps: b) c'est maximaux de A et non E1

Bonjour jotador974.

c) à partir du moment où tu as deux éléments minimaux qui ne sont pas comparables, il n'y a pas de plus petit élément.

d) Visiblement 1 est le plus grand élément.

e) réponses incluses dans c) et d)

C'est bon j'ai compris , un autre exercice sur le mm thème .

Soit E₂ = {1,2,3,4,5,6,7,8} l'ensemble ordonné selon le diagramme de Hasse ci- contre
Soit F= {4,5,6} un sous-ensemble de E₂


                                            1                 2
                                               \             /
                                                      3
                                                /            \
                                              4              5
                                                  \        /     \
                                                       6          7
                                                           \     /
                                                              8

                                             Figure (E₂,R₂)

1) Donner l'ensemble des majorants de F

2) Donner l'ensemble des minorants de F

3) Est ce que F admet une borne supérieure? si oui , préciser

4) Est ce que F admet une borne inférieure? si oui , préciser

5) Pourquoi (E₂,R₂) n'est pas un trellis?

6)Donner un sous-ensemble de (E₂,R₂) qui est un trellis . Justifier

7) Rajouter un élément à E₂ (ainsi que sa relation avec les autres éléments de E₂), afin d'obtenir un treillis. Justifier.

Voila . Merci.

A priori c'est à toi de répondre.
qu'as-tu fait ?

oui désolé j'ai oublié de mettre ce que j'ai fait.

1) majo(F) = {4,5,6,7,8}
2) mino(F)={1,2,3,4,5,6}
3) oui, {4,6}
4) non
5) car il n'a pas de borne inférieure
6)?
7)?
Voila ce que j'ai fais mais j'en ai aucune idée si cela est bon.

1) Faux : quelle est la définition d'un majorant d'une partie d'un ensemble ordonné ?
2) Faux : même question ?
3) Faux : la borne supérieure, si elle existe, est unique !
4) Vrai : coup de chance ou tu peux justifier ?
5) Faux : E₂ admet une borne inférieure ! Et pourtant ce n'est pas un treillis. Quelle est la définition d'un treillis ?
6) 7) on verra après

Il faut que tu sois plus précis dans la rédaction de tes réponses

oops désolé :

4) Ta réponse est fausse.

1) Majorant F est à tous les éléments de F
donc majo(F)={6,7,8}
2) Minorant F est à tous les éléments de F
donc mino(F)={4,3,2,1}
3) Sup(F)={6}, le plus petit des majorants
4) Inf(F)={4}, le plus grand des minorants
5) Ce n'est pas un treillis car il n'admet pas de paire d'élément de la borne supérieur et de la borne inférieur
(définition que j'ai vu sur le treillis : C'est un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure)

1) Tu trouves que 7 a une tête de majorant de F ?
2) Tu trouves que 4 est un minorant de F ?
3) OK
4) 4 n'était pas un minorant de F, il ne risque pas d'être sa borne inf.
5) La paire {1,3} admet une borne inf, mais pas de borne sup. Pourquoi ?
6) Sans hypothèse supplémentaire demandée, tout singleton est un treillis sur un ensemble ordonné.
Moins trivialement, si tu prends A = {2,3,4,6,8}, c'est un sous-ensemble totalement ordonné de E₂, donc forcément un treillis.
Mais tu peux prendre A = {5,6,7,8} c'est un treillis qui n'est pas un sous-ensemble totalement ordonné de E₂.

7) si tu rajoutes 0 en tant que plus petit élément de E₂, ça te fait un treillis. A toi de justifier

donc si j'ai bien compris
1) Maj(F) = {6,8}
2) Mino(F) = {3,2,1}
3) Sup(F)={6}, le plus petit des majorants
4)  Inf(F)={3}, le plus grand des minorants
5) je ne vois pas

1) à 4) OK

5) Inf {1,3} = 1 mais sup {1,3} n'existe pas car {4,5,6,7,8} est l'ensemble des majorants de {1,3} mais n'a pas de plus petit élément.

7) Je me suis trompé : le fait de rajouter 0, ne change pas le fait que la paire {1,3} n'a pas de sup. Du coup, pour le moment, je ne vois pas ce qu'il faut rajouter ...

Merci en tout cas de ton aide.