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Diamètre d'une partie compacte d'un espace métrique
Bonjour,
Voici l'énoncé qui me pose problèmes :
Soit (X,d) un espace métrique et C une partie non vide et compacte de X. Montrer qu'il existe x,y dans C tels que diam(C) = d(x,y) (i.e. d(x,y) = sup{d(s,t)|s,t dans C}).
Il me faut sûrement considérer une suite dont on sait qu'il existe une sous-suite convergente, mais je n'ai aucune idée de comment commencer.
Merci de votre aide !
Bonsoir.
L'application qui à associe
est continue, et
est compact.
Elle atteint donc sa borne supérieure.
Tu utilises :
1. 
: ((x,y),(z,t)) 
d(x,y) + d(z,t) est une distance sur X².
2.L'application (x,y) d(x,y) de X² vers 
est continue.
3. C² = C 
C est un compact de X²
Ces réponses assument que C² est un compact (théorème de Tychonov ?), mais nous n'avons pas vu ce théorème en classe. Je ne crois donc pas pouvoir utiliser ce résultat.
Dans ce cas là, on peut le redémontrer sans le dire, au cours de ton exercice.
Considère une suite de
qui maximise la distance. (ie,
tend vers le diamètre de C)
Comme C est compact, on peut extraire de une sous-suite
convergente vers x.
Comme C est compact, on peut extraire de une sous-suite
convergente vers y.
La suite converge à la fois vers
et vers le diamètre de C, d'où le résultat.
Comment savoir qu'une telle suite (qui maximise la distance) existe ? De plus, on cherche à montrer que les points x et y existent ; comment peut-on affirmer qu'une sous-suite va converger vers un point dont l'existence est inconnue ? Finalement, une sous-suite d'une sous-suite convergente vers x devrait converger vers x aussi et non y, selon moi.
Comment savoir qu'une telle suite (qui maximise la distance) existe ?
C'est toujours vrai, pour toute partie
Comment peut-on affirmer qu'une sous-suite va converger vers un point dont l'existence est inconnue ?
C'est quand même un peu l'intérêt de la compacité : de toute suite dans un compact on peut extraire une sous-suite convergente. L'existence de la limite de la sous-suite fait partie de la définition ...
Finalement, une sous-suite d'une sous-suite convergente vers x devrait converger vers x aussi et non y, selon moi.
C'est une coquille de ma part, je voulais écrire :
Comme C est compact, on peut extraire de
Comme C est compact, on peut extraire de
On a alors
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