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Niveau Licence Maths 1e ann
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Diamètre d'une partie compacte d'un espace métrique

Posté par
AFairJudgement
17-10-10 à 20:29

Bonjour,

Voici l'énoncé qui me pose problèmes :
Soit (X,d) un espace métrique et C une partie non vide et compacte de X. Montrer qu'il existe x,y dans C tels que diam(C) = d(x,y) (i.e. d(x,y) = sup{d(s,t)|s,t dans C}).

Il me faut sûrement considérer une suite dont on sait qu'il existe une sous-suite convergente, mais je n'ai aucune idée de comment commencer.

Merci de votre aide !

Posté par
Arkhnor
re : Diamètre d'une partie compacte d'un espace métrique 17-10-10 à 20:40

Bonsoir.

L'application qui à (x,y) \in C \times C associe d(x,y) est continue, et C \times C est compact.
Elle atteint donc sa borne supérieure.

Posté par
kybjm
re : Diamètre d'une partie compacte d'un espace métrique 17-10-10 à 20:41


Tu utilises :
1. : ((x,y),(z,t)) d(x,y) + d(z,t) est une distance sur X².
2.L'application (x,y) d(x,y) de X² vers est continue.
3. C² = C C est un compact de X²
  

Posté par
AFairJudgement
re : Diamètre d'une partie compacte d'un espace métrique 17-10-10 à 22:41

Ces réponses assument que C² est un compact (théorème de Tychonov ?), mais nous n'avons pas vu ce théorème en classe. Je ne crois donc pas pouvoir utiliser ce résultat.

Posté par
Arkhnor
re : Diamètre d'une partie compacte d'un espace métrique 17-10-10 à 22:46

Dans ce cas là, on peut le redémontrer sans le dire, au cours de ton exercice.

Considère une suite (x_n,y_n) de C^2 qui maximise la distance. (ie, d(x_n,y_n) tend vers le diamètre de C)

Comme C est compact, on peut extraire de x_n une sous-suite x_{\varphi(n)} convergente vers x.
Comme C est compact, on peut extraire de x_{\varphi(n)} une sous-suite x_{\psi(\varphi(n))} convergente vers y.

La suite d(x_{\psi(\varphi(n))}, y_{\psi(\varphi(n))}) converge à la fois vers d(x,y) et vers le diamètre de C, d'où le résultat.

Posté par
AFairJudgement
re : Diamètre d'une partie compacte d'un espace métrique 20-10-10 à 13:42

Comment savoir qu'une telle suite (qui maximise la distance) existe ? De plus, on cherche à montrer que les points x et y existent ; comment peut-on affirmer qu'une sous-suite va converger vers un point dont l'existence est inconnue ? Finalement, une sous-suite d'une sous-suite convergente vers x devrait converger vers x aussi et non y, selon moi.

Posté par
Arkhnor
re : Diamètre d'une partie compacte d'un espace métrique 20-10-10 à 17:32

Citation :
Comment savoir qu'une telle suite (qui maximise la distance) existe ?

C'est toujours vrai, pour toute partie A \subset \mathbb{R} non vide majorée, il existe une suite t_n de A qui converge vers le sup de A.

Citation :
Comment peut-on affirmer qu'une sous-suite va converger vers un point dont l'existence est inconnue ?

C'est quand même un peu l'intérêt de la compacité : de toute suite dans un compact on peut extraire une sous-suite convergente. L'existence de la limite de la sous-suite fait partie de la définition ...

Citation :
Finalement, une sous-suite d'une sous-suite convergente vers x devrait converger vers x aussi et non y, selon moi.

C'est une coquille de ma part, je voulais écrire :

Comme C est compact, on peut extraire de x_n une sous-suite x_{\varphi(n)} convergente vers x.
Comme C est compact, on peut extraire de y_{\varphi(n)} une sous-suite y_{\psi(\varphi(n))} convergente vers y.
On a alors (x_{\psi(\varphi(n))}, y_{\psi(\varphi(n))}) qui converge vers (x,y).



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