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Niveau terminale
Dichotomie
Posté par foq
Bonsoirs à tous !
J'ai besoin de votre aide si vous plaît .
Soit la fonction définie sur [0;+
[ par : . On notera
la courbe représentative de
dans un repère orthonormé .
1) Déterminer la limite de f en + .
2) Étudier les variation de la fonction sur [0;+
[ .
3) Justifier que l'équation admet une unique solution
sur ]0;1[ .
4) On donne le pseudo- code ci-dessous :
a
0
b1
Tant que b-a>0.1
m
Si f(m)<0
Alors 1 m
Sinon bm
Fin Si
Fin Tant que
a) Faire tourner cet algorithme en complétant ci-dessous que l'on recopiera sur la copie .
| étape 0 | étape 1 | étape 2 | étape 3 | étape 4 | |
| a | 0 | ||||
| b | 1 | ||||
| b-a | |||||
| m |
b) Que représentent les valeur contenues dans les variables a et b après exécution de l'algorithme ?
c) Modifier l'algorithme ci-dessous pour que soient contenues dans les variables a et b les deux bornes d'un encadrement de
d'amplitude 10-3 .
5) Étudier la convexité de la fonction
6) Montrer que
1) La Limite de qui tend vers plus l'infinie c'est -6 ,
2) f est décroissant sur l'intervalle [0;+ [ .
La dériver de f est
3) . est continue sur ]0;1[ .
. est décroissant sur ]0;1[ .
. et
D'après la T.V.I. admet une unique solution
sur ]0;1[ .
4)a)
| étape 0 | étape 1 | étape 2 | étape 3 | étape 4 | |
| a | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| b | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 |
| b-a | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 |
| m | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 |
b) Les variables a et b après exécution de l'algorithme représentent l'intervalle de
d'amplitude 10-1 .
c) Il faut modifier while b-a>0.001
5) La fonction f est concave ( [0;
puis convexe (]
[ ) .
6) J'arrive pas .
bonjour à tous deux
je suis étonnée de cette partie de l'énoncé :
foq @ 17-02-2022 à 21:09
4) On donne le pseudo- code ci-dessous (mis en bleu) :
a0
b1
Tant que b-a>0.1
m)
Si f(m)<0
Alors 1 m
Sinon bm
Fin Si
Fin Tant que
4) On donne le pseudo- code ci-dessous (mis en bleu) :
a
0
b
1
Tant que b-a>0.1
m
Si f(m)<0
Alors 1
m
Sinon b
m
Fin Si
Fin Tant que
foq, tu veux bien vérifier l'énoncé d'origine ?
et qu'as-tu trouvé en 3) sur la valeur approchée de alpha ?...
Bonjour carita et Yzz .
Pour le programme c est a =m Puis b=m . Excusez moi pour ce faute d inattention.
Pour la 3) , on a juste appris à dire que existe .
Un point inflexion c est quand la fonction change de signe .
c est a =m Puis b=m
je peux me tromper, mais j'aurais parié l'inverse... 
Pour la 3) , on a juste appris à dire que alpha existe .
==> si, à l'aide de la calculatrice, ou de géogébra, tu cherches une valeur approchée de alpha,
tu verras que ça 'cadre' pas avec ton tableau (qui est à reprendre)
Un point inflexion c est quand la fonction change de signe . --- quelle fonction ? précise
tu as une fiche sur le site : 
Fonction convexe, concave et point d'inflexion
avant de refaire ton tableau, vérifie bien l'énoncé :
soit c'est :
Si f(m) > 0 ----- f(m) positif
Alors a = m
Sinon b = m
soit c'est :
Si f(m) < 0 ----- f(m) négatif
Alors b = m
Sinon a = m
... parce que la fonction f est décroissante sur R+
ps : Yzz, tu reprends la main quand tu veux 
Bonsoir carita et Yzz
Citation :
avant de refaire ton tableau, vérifie bien l'énoncé :
soit c'est :
Si f(m) > 0 ----- f(m) positif
Alors a = m
Sinon b = m
C'est celui la . Pour le tableau , j 'ai directement demander on professeur et il ma dit que m à l'étape 0 n'a pas de valeur quand on l'exécute .
avant de refaire ton tableau, vérifie bien l'énoncé :
soit c'est :
Si f(m) > 0 ----- f(m) positif
Alors a = m
Sinon b = m
3) Il me demande les coordonnées du point d'inflexion . Alors il faut que je calcule l'équation de la tangente , pour trouver x et y .
De plus , Est ce que mes autre réponse sont correcte .
1)2) ok
3) ok mais précise bien strictement décroissante pour pouvoir affirmer que la solution alpha est unique
4)a) (le professeur) m'a dit que m à l'étape 0 n'a pas de valeur quand on l'exécute.
oui, si on considère que l'étape 0 est avant de rentrer dans la boucle.
refais ton tableau avec l'algorithme que tu as confirmé.
compare ce que tu trouveras à la dernière étape avec une valeur approchée de alpha (calculatrice...)
b) c) ok
5) ce que tu dis est exact, mais tu détailleras sur ta copie !
6) point d'inflexion : utilise ton étude du 5) (tu as regardé le lien ?)
Bonsoir carita
3) Par Geogebra j'ai trouvé et
.
4) a )
| étape 0 | étape 1 | étape 2 | étape 3 | étape 4 | |
| a | 0 | 0,5 | 0,75 | 0,875 | 0,9375 |
| b | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| b-a | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 |
| m | 0,5 | 0,75 | 0,875 | 0,9375 |
6) Les coordonnées sont
Merci et Bonne Soirée
bonjour foq
oui, par géogébra, on trouve une valeur approchée 
0.1756.
note : f(-0.18) n'existe pas
or, souviens-toi de ce que tu as écrit :
4b) Les variables a et b après exécution de l'algorithme représentent l'intervalle d'amplitude 10-1 .
autrement dit, on doit avoir 
[a;b]
à l'étape 4 du tableau que tu proposes, [0 ; 0.125], ce n'est pas le cas....
donc tableau à revoir.
6) oui mais je pense que ton professeur attend la valeur exacte, abscisse et ordonnée.
je viens de voir que je me suis trompée de tableau... 
mais ton dernier n'est pour autant pas correct, puisque 
[0.9375;1]
pour punition, je refais et je reviens
Le programme en Python c'est bien ça ou pas :
a=0
b=1
while b-a>0.1:
m=(1/2)*(a+b)
if m<0:
a=m
else:
a=m
print(a,b,b-a,m)le code correspondant à
foq @ 18-02-2022 à 18:51
Si f(m) > 0 ----- f(m) positif
Alors a = m
Sinon b = m
Si f(m) > 0 ----- f(m) positif
Alors a = m
Sinon b = m
ne correspond à ce que tu as écrit :
a=0
b=1
while b-a>0.1:
m=(1/2)*(a+b)
if m<0:
a=m
else:
a=m
print(a,b,b-a,m)
et pour fonctionner, tu dois rajouter la définition de la fonction à ton code,
et importer la fonction exp de math.
Je trouve ça :
>>> # script executed
... a=0
... b=1
... while b-a>0.1:
... m=(1/2)*(a+b)
... if m>0:
... a=m
... else:
... b=m
...
... print(a,b,a-b,m)
...
...
0.5 1 -0.5 0.5
0.75 1 -0.25 0.75
0.875 1 -0.125 0.875
0.9375 1 -0.0625 0.9375non !
ce n'est pas if m>0 mais if f(m)>0
c'est l'image de m qui est testée
tu vois bien que alpha, env. 0.1756, n'est pas compris entre 0.9375 et 1
en définissant cette fonction f,
à chaque fois que, dans le corps principal du programme, python lira
... if f(m) > 0 :il ira exécuter la fonction, c'est-à-dire calculer l'image de m,
avant de reprendre la séquence d'instruction à la suite, dans le corps principal.
foq @ 18-02-2022 à 18:51
Si f(m) > 0 ----- f(m) positif
Alors a = m
Sinon b = m
Si f(m) > 0 ----- f(m) positif
Alors a = m
Sinon b = m
Je me suis trompée . Excusez moi . C'est f(m)<0 .
from math import*
def f(x):
return 7*exp(-5*x**2) - 6
def dic(a,b):
while b-a>0.1:
m=(1/2)*(a+b)
if f(m)<0:
a=m
else:
b=m
print(dic(0,1))
Il m'affiche rien .
non, ce n'est pas possible avec une fonction décroissante.
il s'agit forcément d'une des 2 options décrites 18-02-22 à 13:52.
dans le cas contraire, il y a erreur d'énoncé
(algorithme copié-collé à partir d'un autre exo où la fonction serait croissante, et pas adapté à f sur R+)
ouh là !
où tu as pris ce code ? tu joues à l'apprenti sorcier en mélangeant des mixtures ?
déjà ce code est incomplet et mal indenté, sans compter que (je persiste !) que c'est f(m) >0
si je le corrige :
from math import*
def f(x):
return 7*exp(-5*x**2) - 6
def dic(a,b):
while b-a>0.1:
m=(1/2)*(a+b)
if f(m) > 0:
a=m
else:
b=m
return a, b
print(dic(0,1)) il retourne :
(0.125, 0.1875)==> je te conseille toutefois de coder avec des instructions que tu maitrises, si tu veux progresser.
ci-dessus, tu définis 2 fonctions... pas évident si tu débutes.
voici le code que je te propose et qui traduit l'algo (corrigé!) de l'énoncé :
from math import exp
def f(x):
return 7*exp(-5*x**2) - 6
a=0
b=1
while b-a > 0.1:
m=0.5*(a+b)
if f(m) > 0:
a=m
else :
b=m
print (a,b)il retourne
0.125 0.1875avec tous ces éléments,
essaie de remplir le tableau du 4a (à la main, comme il me semble que c'est demandé)
aide toi de mon graphique si besoin.
je reviendrai ensuite te donner un code qui détaillera les étapes et te permettra de te vérifier.
Bonsoir carita
Avec du retard j'ai trouvé ça :
... from math import*
...
... def f(m):
... return 7*exp(-5*m**2) - 6
...
... a=0
... b=1
... while b-a > 0.1:
... m=0.5*(a+b)
... if f(m) > 0:
... a=m
... else :
... b=m
...
... print (a,b,a-b,m)
...
0 0.5 -0.5 0.5
0 0.25 -0.25 0.25
0.125 0.25 -0.125 0.125
0.125 0.1875 -0.0625 0.1875bonsoir foq
tu y es
juste peut-être modifier le print (a,b,a-b,m) en print (a,b,b-a,m) pour que cela corresponde à ton tableau.
----
pour le fun, si ça t'intéresse, une petite variante,
où l'on permet à l'utilisateur de saisir l'amplitude souhaitée (0.1 ou 0.001 ou ....), par un input ,
et où je crée une seconde fonction python que j'appelle dicho.
la ligne inf, sup = dicho(amplitude) lance l'exécution du programme,
et récupère les bornes inférieure et supérieure (inf et sup) de l'intervalle qui encadre alpha.
from math import exp
# définition de la fonction f
def f(x):
return 7*exp(-5*x**2) - 6
# dichotomie
def dicho(e) :
a=0
b=1
while b-a > e:
m=0.5*(a+b)
if f(m) > 0:
a=m
else :
b=m
return a,b
# corps principal du programme
amplitude = float(input("saisissez l'amplitude : "))
inf, sup = dicho(amplitude)
print ("la racine de la fonction f appartient à l'intervalle [", inf, ";", sup, "]")saisissez l'amplitude : 0.01
la racine de la fonction f appartient à l'intervalle [ 0.171875 ; 0.1796875 ]bonne continuation !