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diffeomorphisme
Bonjour
Montrer que (p, t) -> (pcost , psint)definit un diffeomorphisme de ]0; infini[ * ]0,2pi[sur un ouvert que l'on précisera. Montrer que bien qu'en tout point sa differentielle soit de rang maximum, cette application ne definit pas un diffeomorphisme de ]0,infini[ * R sur son image.
de même sur [0,infini[ * ]0,2pi[.
Cet exercice jai calculer le determinant different de 0 donc japlique le th d'inversion locale pour dire que c'est un diifeomorphisme mais aprés je ne comprend pas trop...
merci d'avance
Bonjour.
Calculer le déterminant ne suffit pas : tout ce que dit le théorème d'inversion locale, c'est que l'application est un difféomorphisme local.
Pour vérifier que c'est un difféomorphisme sur son image, tu dois en outre vérifier que l'application est injective !
pour la première estion cela suffit, non?? et aprés les deux questions avec les images je ne vois pas comment faire.
Pour la première question ce n'est pas suffisant. Tu dois montrer que l'application est injective sur .
Pour déterminer l'image, il faut déterminer l'ensemble .
Fais un dessin, ce n'est pas très compliqué : il s'agit simplement des coordonnées polaires ...
Pour montrer que ce n'est pas un difféomorphisme avec , il suffit de vérifier que ce n'est pas injectif.
Là encore, un peu d'intuition géométrique devrait te guider ...
ah en fait, comme on multiplie par R ce sera obligatoirement surjectif, car pour 2pi et 4pi par exemple on aura la même image, c'est juste cela ??
Le fait que tu es bien réecris l'énoncé m'a paru plus clair, enfin si c'est bien ça
Merci pour ton aide
omme on multiplie par R ce sera obligatoirement surjectif
Le contraire de injectif n'est pas surjectif. As-tu réussi à déterminer l'image ?
Néanmoins,
euh oui oui excuse moi je me suis un peu embrouillé!!
Comme deux point peuvent avoir la mm image alors ce n'est pas injectif donc ce n'est pas un diffeomorphisme!!
Je viens de chercher exactement la definition d'un diffeomorphisme et je viens de voir qu'il fallait que f et sa réciproque soit differentiable, quand je calcule le determinant cela suffit ?
Oui, ça suffit, c'est une conséquence du théorème d'inversion locale.
Je te donne un théorème qui caractérise les difféomorphismes entre des ouverts de .
On se donne un ouvert et une application
.
Alors est un
-difféomorphisme sur son image si et seulement si il vérifie les 3 conditions suivantes :
- est de classe
, c'est-à-dire que ses dérivées partielles existent et sont continues,
- est injectif sur
,
- le déterminant jacobien de est non nul en tout point de
.
La condition sur l'injectivité est cruciale, et ton exercice montre un contre-exemple à ce théorème lorsqu'elle n'est pas vérifiée.
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