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Difféomorphisme

Posté par Profil Ramanujan 13-06-18 à 03:26

Bonjour,

Soit v > 0 j'ai : I = \int_{0}^{\infty} F(\sqrt{v+t^2})dt

Posons : u=v+t^2

L'application : \phi(t)=v+t^2 est un C1 difféomorphisme de ]0,+\infty[ sur ]v,+\infty[

Pourquoi on exclu le 0 ?

Posté par
luzakre : Difféomorphisme 13-06-18 à 07:51

Bonjour !
Que vaut \phi'(0) ? La fonction réciproque est-elle dérivable en v ?

Posté par Profil Ramanujanre : Difféomorphisme 13-06-18 à 15:00

\phi'(0)=0

la fonction réciproque est : t=\phi(u)=\sqrt{u-v}

Donc : \phi'(u)=\frac{1}{\sqrt{u-v}} donc pas définie en v donc pas dérivable en v.

Y a un problème en v mais j'ai pas compris pour le 0.

Posté par
luzakre : Difféomorphisme 13-06-18 à 16:45

Il semble que tu ne sais pas calculer la dérivée d'une fonction réciproque ? Cela fait un peu léger pour s'attaquer aux difféomorphismes !

De plus tu ne sais pas non plus dériver une simple "racine carrée" !

Posté par Profil Ramanujanre : Difféomorphisme 13-06-18 à 20:54

Je rectifie :

\phi ' (t)=2t donc : \phi ' (0)=2 \times 0 = 0

Et : \phi'(u)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{u-v}} donc pas définie en v donc pas dérivable en v.

Mais ça change rien : pourquoi exclure le 0 ?

Posté par
luzakre : Difféomorphisme 14-06-18 à 07:50

Mais réponds donc à la question : que vaut la dérivée d'une fonction réciproque ?

Posté par
ThierryPomare : Difféomorphisme 14-06-18 à 13:21

Bonjour,

Très rapidement de mon boulot : Voyons... Soit v\in\R^{+*} arbitrairement choisi et considérons les applications suivantes.

\psi_v:\left\{\begin{array}{rcl}[0,\,+\infty[&\longrightarrow&[v,\,+\infty[\\x&\longmapsto&v+x^2\\\end{array}\right.\mbox{ et }\psi_v^{\,-1}:\left\{\begin{array}{rcl}[v,\,+\infty[&\longrightarrow&[0,\,+\infty[\\x&\longmapsto&\sqrt{x-v}\\\end{array}\right.

Ces applications sont-elles continues respectivement sur [0,\,+\infty[ et [v,\,+\infty[ ? Que conclure dans un premier temps sur \psi_v ?

La fonction \psi_v est-elle dérivable sur [0,\,+\infty[ ? La fonction \psi_v^{\,-1} est-elle dérivable sur [v,\,+\infty[ ? Que conclure ?

Posté par Profil Ramanujanre : Difféomorphisme 14-06-18 à 13:49

(\phi^{-1})'(t)=\frac{1}{\phi'(\phi^{-1}(t))}

Or la fonction réciproque vérifie : \phi o \phi^{-1}(t)=t on trouve :

\phi^{-1}(t)=\sqrt{t-v}

D'où :   (\phi^{-1})'(t)=\frac{1}{\phi'(\sqrt{t-v})}

Or : \phi'(\sqrt{t-v})=\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{t-v}}

Finalement : (\phi^{-1})'(t)=2 \sqrt{t-v}

C'est correct ?

Je vois toujours pas le problème en 0.

Posté par Profil Ramanujanre : Difféomorphisme 14-06-18 à 13:58

@Thierry.

1/ Les fonctions \psi_v et \psi_v^{\,-1} sont continues sur leur intervalles de définition. Je ne vois pas quoi en conclure.

2/  \psi_v  est dérivable sur son intervalle de définition donc aussi en 0, \psi_v^{\,-1} n'est pas dérivable en v car la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0. Elle est donc dérivable sur son intervalle de définition mais il faut exclure v !
Je ne vois pas quoi en conclure.

Posté par
ThierryPomare : Difféomorphisme 14-06-18 à 14:01

Sais-tu ce qu'est un homéomorphisme ? Sais-tu ce qu'est un difféomorphisme ?

Posté par
ThierryPomare : Difféomorphisme 14-06-18 à 14:04

Qu'as-tu écrit le 14-06-18 à 13:49 ? Veux-tu reprendre tes calculs un peu plus sérieusement ?

Posté par
luzakre : Difféomorphisme 14-06-18 à 14:16

A 13:49  tu écris

Citation :
(\phi^{-1})'(t)=\frac{1}{\phi'(\phi^{-1}(t))}

Peux-tu m'expliquer comment tu finis le calcul en un point où  \phi' prend la valeur 0 ?

Posté par Profil Ramanujanre : Difféomorphisme 14-06-18 à 15:55

@Thierry
Je vois pas d"erreur de calcul.

Un C1 difféomorphisme est une fonction de classe C1 bijective et dont la réciproque est de classe C1.

@Luzak
Comme \phi'(0)=0 on doit avoir \phi^{-1}(t) \ne 0 donc on doit exclure le 0 dans l'ensemble d'arrivée de \phi^{-1} qui correspond à l'ensemble de départ de \phi on a bien défini une bijection.

Posté par
luzakre : Difféomorphisme 14-06-18 à 18:18

Mais justement tu as \phi'(0)=0 et tu dois exclure 0 de l'ensemble source de \phi.
Cela aurait dû être fait depuis le début de tes réponses.

Tout ce temps pour éviter de voir une évidence...

Posté par Profil Ramanujanre : Difféomorphisme 14-06-18 à 19:57

D'accord merci !

J'ai fait une erreur dans le calcul de la dérivée de la fonction réciproque ?

Posté par
luzakre : Difféomorphisme 15-06-18 à 08:19

Non mais dès la constatation de \phi'(0)=0 tu aurais dû éliminer 0 de l'ensemble source de \phi.
C'était bien ta question initiale, non ?

Posté par Profil Ramanujanre : Difféomorphisme 16-06-18 à 15:55

Oui c'était ça merci.


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