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Niveau Licence Maths 1e ann
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Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ?

Posté par
Edison
22-11-17 à 11:51

Bonjour je n'arrive pas à saisir la différence entre la limite classique et la limite épointée...

Soit f : I --> R une application et I une partie non vide de R, soit x0 un réel point de I ou borne de I et soit L un réel.

Définition limite classique :

\varepsilon>0\delta> 0 ∀x∈I⋂]x-\delta, x+\delta[, |f(x)-L|<\varepsilon

On la note lim f(x) = L
                         x-->x0

Définition limite épointée :

C'est exactement la même sauf que on a : "Pour tout x appartenant à I inter x - delta, x + delta privé de {x0}...."

Je m'excuse j'ai pas réussi à la réécrire...

On la note lim f(x) = L
                         x-->x0
                         x\neqx0

Si quelqu'un peut m'expliquer la différence des deux svp! Merci.

Posté par
Edison
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 11:57

Voici la définition de la limite épointée (j'ai finalement réussi à l'écrire)

\varepsilon>0\delta> 0 ∀x∈I⋂]x-\delta, x+\delta[ / {x0}, |f(x)-L| < \varepsilon

Posté par
Edison
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 11:59

Juste une petite erreur, au lieu de "x" dans les intervalles, je voulais écrire "x0"

Posté par
Edison
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 12:00

Je réécris pour que ça soit plus propre :

Définition limite classique :

\varepsilon>0\delta> 0 ∀x∈I⋂]x0-\delta, x0+\delta[, |f(x)-L| < \epsilon



Définition limite épointée :

\varepsilon>0\delta> 0 ∀x∈I⋂]x0-\delta, x0+\delta[ / {x0}, |f(x)-L| < \epsilon

Posté par
alb12
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 13:10

salut,
avec l'une de ces definitions (à toi de trouver laquelle):
une fonction definie en a et admettant une limite en a est continue en a.

Posté par
Edison
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 13:34

Je pense que c'est la limite épointée

Posté par
Edison
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 13:37

Car d'après ce que j'ai compris :

Si x0 ∈ I alors

lim f(x) = l <=> lim f(x) = l et f(x0)=l
x--> x0               x-->x0
                               x\neqx0

Posté par
Edison
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 13:38

Il y a ambiguïté avec le I majuscule et le l minuscule de mon poste précédent donc je rectifie :

Si x0 ∈ I alors

lim f(x) = L <=> lim f(x) = L et f(x0)=L
x--> x0               x-->x0
                               x\neqx0

Posté par
alb12
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 13:38

que dire de f(x)=0 si x est different de 0 et f(0)=1 ? (limite en 0 ? )

Posté par
Edison
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 13:44

La fonction est définie sur R mais pas continue sur R

Posté par
lafol Moderateur
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 13:59

bonjour

Edison @ 22-11-2017 à 13:34

Je pense que c'est la limite épointée

pas de bol ....

Posté par
Edison
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 14:12

lafol @ 22-11-2017 à 13:59

bonjour
Edison @ 22-11-2017 à 13:34

Je pense que c'est la limite épointée

pas de bol ....


Bonjour donc concrètement on utilise la limite classique lorsque qu'une fonction est défini en un point et épointée lorsque celle-ci ne l'est pas ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 14:16

Concrètement on utilise la limite classique tout le temps.... ça permet d'avoir le th qui dit que si f est définie en a et admet une limite en a alors elle est continue en a, et cette limite est exactement f(a).
Si f n'est pas continue en a, on peut chercher à voir s'il existe une limite lorsque x tend vers a en restant différent de a (laquelle limite si elle existe sera forcément différente de f(a))

Posté par
Edison
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 14:35

donc si f admet une limite classique en a alors f admet une limite épointée en a mais la réciproque est fausse

Posté par
Edison
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 14:38

Je pensais que lorsque f(x) n'est pas continu en un point il suffisait de calculer la limite à gauche et à droite de ce point (si cela est possible) pour connaître les variations de f au voisinage de ce point

Posté par
larrech
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 16:49

Bonjour,

Pour compléter,  un peu de polémique

Posté par
alb12
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 18:11

"Je découvre alors à ma grande stupéfaction que Bourbaki a donné deux définitions de la limite d'une fonction quand x tend vers a : la limite pointée, qui prend en compte la valeur de f en a si elle existe, et la limite épointée, qui ne la prend pas en compte" dit le polemiqueur.
Tout prof un peu cultive connaît cette distinction.
Et quand on veut aider un.e eleve ou un.e etudiant.e on lit d'abord les programmes ...

Posté par
jsvdb
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 20:48

Ha ha ha encore un qui a lu Bourbaki en diagonale 😄

Posté par
jsvdb
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 20:57

il n'y a pas deux définitions de la limite, il n'y en n'a qu'une. Celle que l'on prend pour la seconde n'est qu'un cas nano-particulier de ce que Bourbaki appelle la « limite selon un sous-ensemble »
Enfin, je vais me répéter pour la x-ieme fois : la notion de limite ne sera vraiment comprise que quand on voudra bien reparler de filtres (au moins au niveau supérieur: je comprends que ça puisse être chaud au lycée )

Posté par
ThierryPoma
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 22:37

Bonsoir tout le monde,

Il convient de bien se renseigner avant d'écrire tout et n'importe quoi. Cf. ceci .

Bonne nuit !

Posté par
ThierryPoma
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 22-11-17 à 22:42

A consulter aussi l'intervention de GaBuZoMeu ici qui est pertinente.

Posté par
alb12
re : Différence entre limite "classique" et limite "épointée" ? 23-11-17 à 09:39

@intervenants
Quand une discussion devient aussi pointue,
ne serait-il pas plus judicieux de creer  un topic
dans le forum enseignants ?
Quel dommage d'enfouir autant de savoirs dans un topic qu'on aura du mal à retrouver !


***  la suite ici Discussion autour de la notion de limite ****



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