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différence Un+1-Un

Posté par
alexhdmt
29-03-23 à 19:38

Bonjour,
"Soit la suite définie par récurrence et pour tout entier naturel n par:
u_{n+1}= \sqrt{(u_{n}^{2})+6}.
a) Démontrer que: u_{n+1}-u_{n}= \frac{6}{\sqrt{u_{n}^{2}+6}+u_{n}} --> Réussi.
b) En déduire que cette suite est croissante.
Je bloque ici car je dois prouver que cette différence est strictement positif mais je n'arrive pas à étudier le signe de cette différence. Admettons que un= -7, comment puis-je prouver que le dénominateur est positif?
Merci pour votre aide!

Posté par
larrech
re : différence Un+1-Un 29-03-23 à 19:44

Bonjour,

Quel est le signe de u_{n+1}, donc d'une façon générale de u_n ?

Posté par
Leile
re : différence Un+1-Un 29-03-23 à 19:44

bonjour,

dans ton énoncé,  on ne donne  pas U0  ?

Posté par
larrech
re : différence Un+1-Un 29-03-23 à 19:45

Et que dire si u_0<0 ?

Posté par
Leile
re : différence Un+1-Un 29-03-23 à 19:49

bonjour larrech, tu m'as devancée : je te laisse poursuivre.
Bonne soirée.

Posté par
larrech
re : différence Un+1-Un 29-03-23 à 21:17

Bonsoir Leile,

je ne repasse qu'en fin de soirée. N'hésite pas à intervenir si besoin est.

Posté par
alexhdmt
re : différence Un+1-Un 16-04-23 à 14:47

Bonjour, désolé pour mon délai de réponse mais si j'ai u0=1 et le signe de un+1 est positif car un carré ne peut être que positif. Mais d'une façon générale comment puis-je en tirer une conclusion pour un?

Posté par
alexhdmt
re : différence Un+1-Un 16-04-23 à 14:53

la racine carré d'un nombre* est toujours positif

Posté par
Leile
re : différence Un+1-Un 16-04-23 à 18:27

alexhdmt @ 16-04-2023 à 14:53

la racine carré d'un nombre* est toujours positif


oui, donc Un+1   est   toujours positif,   tu peux en conclure que tous les Un sont positifs  

alors : quel est le signe du dénominateur de Un+1   -  Un ?

Posté par
tetras
re : différence Un+1-Un 07-05-23 à 08:40

bonjour coment êtes vous sur que un est toujours positif?

Posté par
Leile
re : différence Un+1-Un 07-05-23 à 13:37

bonjour tetras,

Un+1  est  une  racine carrée  : positive.
sous la racine  il y  a une somme   d'un carré et de 6 , donc
tous les Un+1    sont strictement positifs.
On peut se poser la question pour le premier terme de la suite.
que U0  soit négatif  ou positif, tous les suivants sont positifs.



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