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Niveau maths sup
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Différence variance empirique et théorique

Posté par
Diegomechelynck
30-07-11 à 10:47

Bonjour tout le monde! On me demande sur un examen la question suivante: "En quoi consiste la différence entre la variance empirique et la variance théorique que l'on calcule à partir des données d'un échantillon?" Je n'ai strictement aucune idée de ce que peut être la réponse, quelq'un peut-il m'aider?

Posté par
DOMOREA
Différence variance empirique et théorique 30-07-11 à 11:03

Bonjour,
Si tu prends l'exemple simple d'une loi Binomiale B(n,p) la variance théorique est np(1-p)
Si tu étudies un echantillon de k valeurs définissant une variable aléatoire X qui l'on pense suit une loi Binomiale de paramètre p, le calcul de la variance \sum_1^k(X_i-E(X))^2, elle ne sera pas identique en valeur au résultat théorique ,par exemple p ne sera pas tout à fait égal à E(X). Tu connais la notion de fluctuation d'echantillonnage.

Posté par
Diegomechelynck
re : Différence variance empirique et théorique 30-07-11 à 11:46

Euh non, que veut dire fluctuation d'échantillonage? :-s

Posté par
DOMOREA
Différence variance empirique et théorique 30-07-11 à 12:42

Bonjour,
Cela signifie que pour une suite d'observations d'échantillonnages, les paramètres ne restent pas constants (moyenne, variance,..) cependant il existe des lois de convergence comme par exemple la loi faible des grands nombre.
Le lancement d'un dé que l'on suppose équilibré laisse attendre qu'il suive la loi de Bernouilli de paramètre 1/2  (pour le "succès" ="obtenir Face").
donc la fréquence théorique de l'événement "Obtenir Face" est 1/2
En revanche le lancement de ce dé 1000 fois peut donner une fréquence de 0.495 pour "Face", de 0,490 pour 1500 lancers.
Pour ces échantillons l'espérance empirique est respectivement donc 0.485  et 0.490 pour le succès "face".
Mais si on observe des échantillons d'effectifs de plus en plus grands alors la fréquence d'obtention de "Face" se rapprochera de 1/2.
Un théorème provisoire connu des élèves de lycée donne P(f_{empirique}\in]\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt(n)};\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt(n)}[)\approx 0.95 pour n>25

Posté par
Pierre_D
re : Différence variance empirique et théorique 30-07-11 à 14:37

Bonjour Diegomechelynck,

Je ne suis pas bien sûr qu'il y ait une définition universellement reconnue du terme "variance empirique".
Vu le libellé de la question : "En quoi consiste la différence entre la variance empirique et la variance théorique que l'on calcule à partir des données d'un échantillon?", qui serait d'ailleurs mieux exprimée par "En quoi consiste la différence entre la variance empirique et l'estimation de la variance théorique que l'on calcule à partir des données d'un échantillon?", la réponse attendue pourrait bien être, avec les notations habituelles :
- la variance empirique de l'échantillon est :  s_1^2\ =\ \frac1n\,\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2
- l'estimation (sans biais) de la variance théorique \sigma^2 que l'on calcule à partir des données de l'échantillon est :  s_2^2\ =\ \frac1{n-1}\,\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2  ,  avec E(s_2^2)\ =\ \sigma^2 .

Qu'en penses-tu, Domorea ?

Posté par
DOMOREA
Différence variance empirique et théorique 30-07-11 à 17:20

bonjour Pierre_D,
je vois en effet un Bog dans ma dèfinition de la variance ( oublie de 1/k) j'avais la tête dans les fréquences et en effet le quotient par n-1 me convient...dans le cas d'un échantillon  pour l'estimation sans biais de la variance théorique.



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