Niveau école ingénieur

Différences finies

Posté par
VVictor33 09-02-21 à 17:14

Bonjour,
j'ai l'équation suivante à laquelle j'aimerais appliquer la méthode des différences finies afin de résoudre numériquement le système. (Il s'agit de la flexion d'une poutre en 2D)

$\mu \Delta \vec{u}+(\lambda +\mu )\nabla div(\vec{u})$

(En 2D donc u possède une composante suivant x et une suivant y et il dépend de x et y)

J'ai alors développé l'expression et j'ai trouvé qu'elle valait :

/x : $\mu[ \frac{\partial^{2}u_{x}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}] +(\lambda +\mu )[ \frac{\partial^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}+ \frac{\partial^{2}u_{y}}{\partial x\partial y}]$

/y : $\mu[ \frac{\partial^{2}u_{y}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}] +(\lambda +\mu )[ \frac{\partial^{2}u_{x}}{\partial x \partial y}+ \frac{\partial^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}]$

Premièrement est ce que cela est correct ?

Ensuite, je souhaite appliquer les différences finies mais je ne sais pas quel schéma utiliser (centré, décentré), avec quel erreur etc...
Je pensais commencer avec une formule centrée a l'ordre 2 pensez vous que cela soit judicieux ?

PS : nous venons juste d'aborder ces méthodes en cours

Posté par re : Différences finies 09-02-21 à 21:54

Bonjour,

pour votre calcul pour /y , si j'ai bien compris l'équation, il me semble que dans le premier terme ce n'est pas $\dfrac{\delta^2 u_y}{\delta y^2}$ mais $\dfrac{\delta^2 u_y}{\delta y \delta x}$ , pour le reste je trouve pareil.

l'ordre 2 me paraît logique puisque que vous avez des dérivées secondes.

Posté par re : Différences finies 25-03-21 à 13:57

Bonjour, j'ai appliqué les formules de différences finies et je tombe alors sur le système suivant : (avec $u_{x} = u$ et $u_{y} = v$

$\mu[\frac{u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}}{\Delta x^{2}}+\frac{u_{i}^{j+1}-2u_{i}^{j}+u_{i}^{j-1}}{\Delta y^{2}}]+(\lambda+\mu)[\frac{u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}}{\Delta x^{2}}+\frac{v_{i+1}^{j+1}-v_{i+1}^{j-1}-v_{i-1}^{j+1}+v_{i}^{j}}{4\Delta x\Delta y}]$

$\mu[\frac{v_{i+1}^{j}-2v_{i}^{j}+v_{i-1}^{j}}{\Delta x^{2}}+\frac{v_{i}^{j+1}-2v_{i}^{j}+v_{i}^{j-1}}{\Delta y^{2}}]+(\lambda+\mu)[\frac{u_{i+1}^{j+1}-u_{i+1}^{j-1}-u_{i-1}^{j+1}+u_{i}^{j}}{4\Delta x\Delta y}+\frac{v_{i}^{j+1}-2v_{i}^{j}+v_{i}^{j-1}}{\Delta y^{2}}]$

Je souhaite maintenant déterminer la matrice M qui me permettrait d'obtenir ce système lorsque je la multiplie par le vecteur u des $u_{i}^{j}$ . J'ai donc déterminé le vecteur comme suit :

$\begin{pmatrix} \\ \\ u_{1}^{1} \\ \\ . \\ \\ u_{nx}^{1} \\ \\ u_{1}^{2} \\ \\ . \\ \\ u_{nx}^{2} \\ \\ . \\ \\ . \\ \\ u_{nx}^{ny} \\ \\ v_{1}^{1} \\ \\ . \\ \\ v_{nx}^{1} \\ \\ v_{1}^{2} \\ \\ . \\ \\ v_{nx}^{2} \\ \\ . \\ \\ . \\ \\ v_{nx}^{ny} \\ \\ \end{pmatrix}$

J'ai cependant beaucoup de mal à déterminer la matrice M correspondante, notamment pour faire apparaitre les termes des dérivées croisées.
Je pense que la matrice M ressemble en partie à cela :

$\begin{pmatrix} \\ A & \mu \frac{I_{ny}}{\Delta y^{2}} & & & & & & & & \\ \\ \mu \frac{I_{ny}}{\Delta y^{2}} & . & . & & & & & & & \\ \\ & . & . & . & & & & & & \\ \\ & & . & . & . & & & & & \\ \\ & & & . & . & . & & & & \\ \\ & & & & \mu \frac{I_{ny}}{\Delta y^{2}} & A &\mu \frac{I_{ny}}{\Delta y^{2}} & & & \\ \\ & & & & & \mu \frac{I_{nx}}{\Delta y^{2}} & D &\mu \frac{I_{nx}}{\Delta y^{2}} & & \\ \\ & & & & & & . & . & . & \\ \\ & & & & & & & . & . &\mu \frac{I_{nx}}{\Delta y^{2}} \\ \\ & & & & & & & &\mu \frac{I_{nx}}{\Delta y^{2}} & D \\ \end{pmatrix}$

avec A sous la forme :

$\begin{pmatrix} \\ -2[\frac{\lambda + 2 \mu}{\Delta x^{2}} + \frac{\lambda + \mu}{\Delta y^{2}}] & \frac{\lambda+2\mu}{\Delta x^{2}} & & & & & & & & \\ \\ \frac{\lambda+2\mu}{\Delta x^{2}}& . & . & & & & & & & \\ \\ & . & . & . & & & & & & \\ \\ & & . & . & . & & & & & \\ \\ & & & . & . & . & & & & \\ \\ & & & & . & .& . & & & \\ \\ & & & & & . & . & . & & \\ \\ & & & & & & . & . & . & \\ \\ & & & & & & &. & . & \frac{\lambda+2\mu}{\Delta x^{2}} \\ \\ & & & & & & & & \frac{\lambda+2\mu}{\Delta x^{2}} & -2[\frac{\lambda + 2 \mu}{\Delta x^{2}} + \frac{\lambda + \mu}{\Delta y^{2}}] \\ \end{pmatrix}$
Mais je n'en suis pas certain et je sais qu'elle est encore incomplète.
Pouvez vous m'aider.

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