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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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differentiabilité

Posté par
Nyadis
30-06-20 à 21:49

Bonjour.
J'ai un probleme sur le calcul de differentiel.
en effet j'ai une application

Φ: E→F tel que pour x∈E ( ou E et F sont est e.v.n)
Φ(x)=a(x,x,x)
ou a est une application trilineaire

on me demande de calculer toute les differentielle de Φ en x.  
j'ai commencé par la differentiel d'ordre 1.
et j'obtient

dxΦ(h)=3a(h,x,x)

maintenant suis callé quand a la derivée seconde par rapport a x.
puisque ma derivé est une fonction qui depend de h je ne sais plus trop quoi en faire.

Posté par
Nyadis
re : differentiabilité 30-06-20 à 21:50

a est une application trilineaire continue symetrique.

Posté par
etniopal
re : differentiabilité 01-07-20 à 11:56

   On se donne donc  (E , p) , (F , q)  des -evn et a  :  E3 E  continue et tri - linéaire .

A :  x a(x , x , x) est donc continue , différentiable et pour tout x  de E on a :  dxf  = 3 a(. , x , x)
B : x dxf est donc  une application de E vers  L := Lc(E , F) .
Pour tout x , y de E on a :
(1/3)(B(x + y) - B(x)) =  a(. , x , y) + a(. , y , x) + a(. , y , y) = V(x , y) + W(x,y) où V(x , y) =  a(. , x , y) + a(. , y , x)  et W(x,y) = a(. , y , y) .

Si tu montres que  
   V(x , .) est linéaire et continue   de E vers Lc(E , L)
et que (1/p(y))W(y)  tend vers 0 quand y tend vers 0

tu auras montré que B est différentiable au point x et que dxB = 3V(x , .)



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