Bonjour,

avez utilisé l'inégalité triangulaire   |x sin(y)-ysin(x)| <=|x sin(y)|+|ysin(x)|<=|x |+|y| puis passer en coordonner polaire

Bonjour,

je réécris la fonction :

g(x,y) = pour (x,y) (0,0) et g(0,0) = 0.


phyelec78 : merci pour la réponse !! Mais j'ai du mal à voir qu'est ce que ça va changer de passer en coordonnées polaires, après je vais juste me retrouver avec un r0 au lieu d'un x²+y²0, mais ça revient au même...

avec le DL au premier ordre de sin au voisinage de 0, le numérateur s'annule quelque soit x quand x tend vers 0 et quelque soit y quand y tend vers 0, le numérateur reste la somme de 2 carrées donc non nul  quelque soit x quand x tend vers 0 et quelque soit y quand y tend vers 0.

  Bonsoir !
  1.. Justifier que g  est différentiable en tout point de  l'ouvert U := ² \ { (0,0) }

  2..g admet  partout des dp  D₁g et  D₂ g.
     Que valent   D₁g(0,0) et      D₂g(0,0) ?
   Si g est différentiable en   (0,0)  quelle est sa différentielle en ce point  ?

Bonsoir,

merci etniopal !
j'ai réussi à montrer la 1., et j'ai aussi réussi à montrer que g admet en (0,0) des dérivées directionnelles suivant tout vecteur et que Dg(0,0) = 0.
J'ai donc D₁g(0,0) = 0 et D₂g(0,0) = 0, mais là je bloque...
Il me semble que je pourrais utiliser cette propriété :

Notons p_i : x = (x₁, . . . , x_p) ∈ R^p → x_i ∈ R la ième projection.
L'application f est différentiable en a si et seulement si les p fonctions f_i = p_i ◦ f sont différentiables en a et on a :
∀i ∈ {1, . . . , p} D_f[sub]i[/sub](a) = p_i ◦ Df(a)

... mais j'ai du mal à voir comment ?

   Si g est différentiable en   (0,0)  quelle est sa différentielle en ce point  ?