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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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différentiabilté

Posté par
clara301002
03-10-22 à 19:42

Bonjour tout le monde,
j'aimerai avoir de l'aide pour un exercice d'un DM svp !  

Soit f une application de Rn dans Rn tq f(x) est colinéaire à x différent de 0 et f(0)=0.
On a f(x) = u(x)x  avec u(x) réel.
  Montrer que f est différentiable en 0 si u(x) admet une limite LAMDA quand x tend vers 0 et que D0f = LAMDA Id(Rn)

Voilà merci de votre aide !

Posté par
jsvdb
re : différentiabilté 03-10-22 à 20:36

Bonsoir clara301002.
Ecris déjà la quantité f(0+h) - f(0), h\in \R^n-\{0\} que tu vas vouloir mettre sous la forme L(h) + o(h) où L est linéaire de \R^n dans \R^n à déterminer

Posté par
clara301002
re : différentiabilté 06-10-22 à 12:43

bonjour,
oui  f(0 + h) - f(0) = u(h)h du coup, comment l'écrire sous la forme dun petit o??

merci de votré réponse

Posté par
jsvdb
re : différentiabilté 06-10-22 à 12:57

Si une fonction u admet une limite en 0, on peut toujours poser u(0) = lim u en 0 et écrire u(h) = u(0) + (u(h) - u(0)).

Posté par
clara301002
re : différentiabilté 06-10-22 à 15:33

ok donc u(h) = LAMDA + (u(h) - LAMDA)

Posté par
clara301002
re : différentiabilté 06-10-22 à 15:33

bon j'avoue que ce sujet m'a totalement perdue .. je sais vraiment pas quoi faire

Posté par
jsvdb
re : différentiabilté 06-10-22 à 16:57

clara301002 @ 06-10-2022 à 15:33

ok donc u(h) = LAMDA + (u(h) - LAMDA)

Oui, donc maintenant écris u(h).h et ton petit o va apparaître.

Posté par
clara301002
re : différentiabilté 06-10-22 à 17:17

donc f(0+h) -f(0) = ( LAMDA + (u(h) - LAMDA) ) h
                                  =  LAMDA + (u(h) - LAMDA)+o(h)

donc ça prouve là différentiabilite
on ne sert pas de D0f

Posté par
clara301002
re : différentiabilté 06-10-22 à 19:02

j'ai f(0 + h) - f(0) = u(h)h = LAMDA h + h(u(h) - LAMDA) = h ( lamda + (u(h) - lamda) )
je dois pas développer du coup
le L(h) = lamda  * h
et o(h) = u(h)h - lamda * h

c'est ca ?

Posté par
jsvdb
re : différentiabilté 06-10-22 à 19:03

C'est exactement ça

Posté par
clara301002
re : différentiabilté 06-10-22 à 19:12

Ok merci  pas besoin d'utiliser le D0f = Id alors ?
  d'accord je savais pas   f(0+h) - f(0) = L(h) + o(h) prouvait la différentiabilité de f
Merci de votre aide



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