Bonsoir, non ce n'est pas toujours le cas.

Exemple : si ta fonction est définie sur un compact et qu'elle atteint son extremum en un point frontière du compact (possible par le théorème des bornes atteintes), alors rien n'assure que la différentielle soit nulle.

En revanche cela est vrai sur un ouvert.

Merci pour ta reponse, si il existe des extremums ou la differentielle ne s'annule pas comment les trouver? la differentielle en ces points a t'elle une particularité?

Mostvaluable

Précise d'abord l'ensemble de départ de f .
Celui de son arrivée étant    puisque tu parles d'extremum .

Soit f : Rn vers R une fonction de classe C1, et soit g sa restriction à la sphere unité. Montrer que g admet des extremums.

je crois avoir reussi en utilisant le theoreme des bornes atteintes

Si x est un extremum, montrer qu'il existe un réel a tel que : df_x = a<x,h>  ou <.,.> est le produit scalaire euclidien usuel.

là je seche

Avant il y a cette question donc on pourrait l'utiliser

Soit x  \in  Rn tel que ||x|| = 1 et soit v  \in  à Rn, non nul, orthogonal à x. Montrer qu'il existe une application  f de ] − 1, 1[ vers Rn de classe C1 telle que pour tout t \in ] − 1, 1[, ||f(t)|| = 1, f(0) = x et f'(0) = v.

Merci de m'aider pour cet exercice aussi

Avant il y a cette question donc on pourrait l'utiliser

Soit x    Rn tel que ||x|| = 1 et soit v    à Rn, non nul, orthogonal à x. Montrer qu'il existe une application  f de ] − 1, 1[ vers Rn de classe C1 telle que pour tout t ] − 1, 1[, ||f(t)|| = 1, f(0) = x et f'(0) = v.

Merci de m'aider pour cet exercice aussi

Soit S la sphère unité de E :=   ⁿ .

Supposons que c S et qu'il existe un voisinage V de c tel que pour tout x de V S on ait f(x) f(c) .
    Soient u E \{0}  tel que <c , u> = 0  .
         Si   est  une application  dérivable d'un intervalle  J contenant 0 vers E  telle que  f(J)   V S , (0) = c  et '(0) = u   on a  :  (t) := f((t))   f(c) pour tout t de J  . comme est dérivable on a   '(0) = 0 .
Or pour tout t on a : '(t) =   _k D_kf((t)._k'(t) donc 0 = _k D_kf(c) . u_k  = <Grad(f(c) , u> .
Cela entraine que Grad(f(c) et c sont colinéaires : il existe un réel r tel que  Grad(f(c) = r.c  .
Comme d_cf = <Grad(f(c) , .>  on a  : d_cf  : h r<c , h>  ( au passage : ce que tu écris "  dfx = a<x,h>  " est incorrect )

Rq1:
Si tu as vu la recherche des"  extrema liées " on aurait pu dire directement qu'en un point   où " f présente un extremum sous la condition h = 1 "  Grad(f) et Grad(h) sont colinéaires  ( h étant x _k x_k² ).

La question précédente consiste à montrer l'(existence de ce que j'ai appelé (J,) .
Si c S et  u E \ {0}  et <c , u> = 0 soit P := .c + .u . P est un plan et P S est un bon cercle des familles . Il me semble alors facile de trouver un (J,) vérifiant ce que j'ai dit . C'est de la géométrie élémentaire .