merci d'avance pour vos réponses et à ceux qui m'ont lu

Bonsoir,

De l'application lisse et à partir d'un point arbitrairement choisi, l'on obtient , où est canoniquement isomorphe à et où .

Bonsoir ThierryPoma, merci de me répondre.
En effet, je suis tout à fait d'accord que T_f(a)S¹ est isomorphe à l'orthogonal de f(a) mais je ne vois toujours pas en quoi cela nous permets d'en conclure l'écriture explicite (*). Au mieux, j'arrive tout au plus à prouver que
d_xtR(sin(2x),-cos(2x))R(-sin(2x),cos(2x))). Qu'est ce qui m'échappe?
Et ne devons nous pas ici, par exemple, déterminer la différentielle de cette facon : d_x(t)=[(i,d(_io)(x)t)], en considérant les projections stéréographiques _i comme cartes de la variété S¹, avec i{N,S}.

Pourquoi faire compliqué. Reprenons les notations du 30-07-18 à 23:45. La fonction est définie sur , de sorte que les notions de différentiabilité et dérivabilité se confondent ici, avec pour tout . Faisant , il se trouve que , car . Finalement, l'arbitraire sur permet d'arriver à une conclusion analogue à celle que tu donnes au début. C'est du calcul différentiel !

Je comprends ton raisonnement ThierryPoma, mais j'insiste sur mon post précédent. Je veux, en effet, faire compliqué car je souhaite être aussi rigoureux que possible afin de bien comprendre mon cours.
Il s'agit ici d'une différentielle entre deux variétés. Selon les définitions du cours, d_x envoi t sur une classe de
T_(x)S¹. Classe que l'on trouve par la différentielle composée d'une carte de S¹ avec en x. , carte local sur S¹ au voisinage de (x).

Le point c'est que tu donnes ici l'image par t de la differentielle pas en fonction d'une classe de courbe, ou en tout cas pas explicitement, mais simplement en l'exprimant en fonction d'une trivialisation locale de ton fibré tangent (qui est aussi globale ici, mais peu importe).
Ou dit encore autrement tu exprimes l'image de t (de 1 suffit) par la differentielle de phi en fonction d'une base de que l'on a "sous la main".

En effet si tu vois comme la sphère unité de alors le fibré tangent s'identifie aux sous espace de donné par avecu orthogonal à x. Et tu écris ce qu'est l'image selon cette description.

Bien sur tu peux revenir à la vision classe de courbe. Par exemple la classe de la courbe donnée par l'exponentielle complexe (ou le sinus et le cosinus) donne en \phi(x) une trivialisation de ton fibré tangent, si tu exprime le vecteur tangent image de 1 par \phi alors c'est simplement cette classe multipliée par 2\pi. Ce qui redonne la meme chose, bien sur.

Merci d'avoir rejoins la conversation Poncargues. Bon, voila une semaine que je me creuse les méninges et toujours rien, je planche....
Comment exprime t on  l'image par t de la differentielle en fonction d'une trivialisation locale du fibré tangent?

Ben, comme tu as ecris dans ton premier message, ici la trivialisation est donnée ce qu'a ecrit Thierry Poma, tu vois le fibré tangent comme le sous machin du plan croix le plan, qui correspond au points de S^1 croix un element de l'orthogonal en ce point.

Peut etre ce qu'il te manque c'est la fonctorialité de la differentielle: d(fog)=dfodg.
Donc ici tu as f l'application que tu notes phi et g=i l'inclusion de S1 dans le plan. Et di est simplement l'inclusion du fibré tangent à S1 dans le plan croix le plan, donc tu peux calculer d(foi), comme simplement la differentielle d'une brave fonction de R dans R2, qui atterit dans TS1, et tu sais que son image dans TR2=R2xR2 est l'image de df dans TS1 que l'on voit plongé dans TR2. Ce que tu as ecrit au tout premier message.