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Différentielle totale

Posté par
Boone11 25-01-22 à 17:38

Bonjour,

Je bloque sur un exercice. Voici l'énoncé :
Supposons que l'altitude sur une dune correspondant au point (x, y) de la base de la dune est donnée par la fonction P (x, y) = e^{-(x^2+y^2)}.

1) De combien se déplace-t-on sur la dune lorsqu'on se déplace d'un vecteur dl_0 (dx_0, dy_0) dans le plan à partir du point (x_0, y_0) ?

2) Application numérique : calculer ce déplacement pour (x_0 = 0, y_0 = 0) et dx_0 = 0.3, dy_0 = 0.15.

Mes réponses ci-dessous :
1) dP(x_0,y_0)=-2x_0e^{-(x_0^2+y_0^2)} dx_0 \textbf{ex}_0 - 2y_0e^{-(x_0^2+y_0^2)} dy_0 \textbf{ey}_0

2) Comme j'ai x_0 et y_0 en facteur de chaque terme mon déplacement vaut 0 ce qui me semble faux.

J'imagine que j'ai mal formulé ma réponse à la question 1. Pourriez-vous m'aider ?
Merci

Posté par
phyelec78re : Différentielle totale 25-01-22 à 18:55

Bonjour,


vous avez calculé la dérivée de P ce qui correspond à des variations de "pentes" en (x0,y0 )et non un déplacement.
à mon avis pour votre déplacement, il me semble que vous devez écrire dl=P(x0+dx0,y0+dy0) -P(x0,y0)

Posté par
larrechre : Différentielle totale 25-01-22 à 19:06

Bonjour,

Je pense que de toute façon il sera obligé d'aller au second ordre.

Posté par
Razesre : Différentielle totale 25-01-22 à 20:50

Bonsoir,

Je vois plutôt ceci  \overrightarrow{OM} \begin{pmatrix} x \\y \\z=e^{-(x^{2}+y^{2})}\end{pmatrix}, puis tu applique la différentiation vectorielle.

Posté par
Boone11re : Différentielle totale 26-01-22 à 15:49

Merci pour vos réponses.

J'ai l'impression que la réponse de phyelec78 est la bonne solution.

Razes, je ne vois pas comment faire avec votre méthode.

Posté par
larrechre : Différentielle totale 26-01-22 à 16:33


Le vecteur déplacement sera   \vec{dOM}=\begin{pmatrix}dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}

On te donne dx et dy et tu dois en déduire dz, mais comme le plan tangent à la surface en O est horizontal, la différentielle du premier ordre est nulle en ce point. Il faut aller au second ordre.

Posté par
Boone11re : Différentielle totale 26-01-22 à 17:02

Ok, j'ai écrit la différentielle au second ordre :
d^2P=(x^2-1)e^{-(x^2+y^2)}dx^2+(y^2-1)e^{-(x^2+y^2)}dy^2=d^2z.

Cependant, je ne vois pas trop quoi en faire.

Posté par
larrechre : Différentielle totale 26-01-22 à 17:33

Il te faut développer z= e^{-(x^2+y^2)}   à l'ordre 2 selon la formule de Taylor; le terme du second ordre n'est pas ce que tu as écrit. Il manque en particulier la dérivée croisée et des coefficients venant des dérivations.

Ecris d'abord la formule générale, puis ce qu'il advient au point x=y=0

Posté par
Boone11re : Différentielle totale 26-01-22 à 18:20

J'ai :
En x_0+dx_0 : P(x_0+dx_0,y_0)=P(x_0)-2x_0P(x_0)dx_0+(x_0^2-1)P(x_0)

J'obtiens quelquechose de similaire pour le développement en y_0+dy_0.

En x_0=y_0=0, j'ai P(x_0+dx_0,y_0)=0

Posté par
larrechre : Différentielle totale 26-01-22 à 18:36

Regarde là , paragraphe 3, "Exemple"

Il est noté h et k au lieu de dx et dy, (notation bien préférable dans ce cas), c'est cette formule qu'il te faut appliquer.

Posté par
Boone11re : Différentielle totale 27-01-22 à 09:11

Ok merci. Voici ce que j'obtiens :

P(x_0+dx_0,y_0+dy_0)=P(x_0,y_0)-2x_0P(x_0,y_0)dx_0-2y_0P(x_0,y_0)dy_0+0.5*(x_0^2-1)P(x_0,y_0)dx_0^2+0.5*(y_0^2-1)P(x_0,y_0)dy_0^2+4x_0y_0P(x_0)dx_0dy_0

En x_0=y_0=0 j'ai :
P(dx_0,dy_0)=P(0,0)(1-0.5(dx_0+dy_0))

Posté par
larrechre : Différentielle totale 27-01-22 à 09:51

Il y a un problème avec les coefficients des termes du second ordre. Ensuite, il faudrait soit indiquer l'ordre de grandeur du reste qui est un  o(dx^2+dy^2), soit utiliser \approx et non =.

Ainsi , selon moi (je note dx, dy, P_0 en place de dx_0, dy_0, P(x_0,y_0):

dP=-2x_0P_0 dx-2y_0P_0dy+(1/2)\left{[}(4x_0^2-2)P_0dx^2+(4y_0^2-2)P_0 dy^2+8x_0y_0P_0dx dy\right]}+o(dx^2+dy^2)

dont on tire dP=dz\approx -(dx^2+dy^2) puisque x_0=y_0=0   et que   P_0=1

Posté par
Boone11re : Différentielle totale 27-01-22 à 11:05

Merci !

Posté par
Razesre : Différentielle totale 27-01-22 à 14:34


Bonjour,

Comme je l'ai indique à  25-01-22 à 20:50,

Etape 1): on différencie \overrightarrow{OM} \begin{pmatrix} x \\y \\z=e^{-(x^{2}+y^{2})}\end{pmatrix},

Étape 2): On doit calculer ds déplacement curviligne qui correspond à ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2}, car ce qui est demandé est le calcul du déplacement sur la dune.

Étape 3): On doit intégrer notre ds le long de la trajectoire du point M_0 à M_0+dM_0, donc comme il n'y a pas de chemin précisé, on doit paramétrer ce chemin en x, y, ça peut être un paramétrage ligne droite de M_0 à M_0+dM_0

Posté par
larrechre : Différentielle totale 27-01-22 à 15:09

àBoone11 J'avais cru qu'il s'agissait simplement d'en donner une approximation.  Désolé.


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