Pour le cardinal de l'ensemble des permutations de {1,...,n}:

On doit choisir l'image de 1 parmi n choix possibles
Ensuite l'image de 2 parmi n-1 choix (puisque l'image de 1 est déjà prise et qu'on veut construire une permution!)
Ensuite l'image de 3 parmi n-2
Ainsi de suite...
Enfin l'image de n parmi 1 seule possibilité.

Donc on  a n.(n-1).(n-2). ... .1=n! possibilités pour toute permutation

An,p représente l'ensemble des fonctions injectives d'un ensemble de p éléments dans un ensemble de n élément. De la même façon:

n choix pour le premier élément
n-1 pour le second
etc.
n-p+1 pour le p-ième élément

D'où An,p = n.(n-1). ... . (n-p+1)
    An,p = n.(n-1) ... .1 / [(n-p). ... . 1] = n!/(n-p)!

Enfin pour Cn,p qui représentent le nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments, on peut remarquer que l'image d'une injection d'un ensemble de p éléments dans un ensemble à n éléments est toujours un ensemble à p éléments, et que cet ensemble est unique à permutation près sur l'injection, donc qu'il existe p! injections ayant la même image. Donc

Cn,p = An,p / p! = n! / (p! (n-p)!)