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difficulté pour une intégration par parties
Bonjour !
Voilà j'aimerais connaître la méthode pour aborder cet exercice :
"Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale
:
Intégrale de 0 vers a : (e^-2x) * ln(1+2e^x) dx "
Même après avoir intégré 2 fois, je n'arrive pas à un résultat satisfaisant,
il y a sûrement quelque chose que je n'ai pas du voir 
Merci !
Coup de pouce.
(e^-2x) * ln(1+2e^x) dx
Poser e^-2x .dx = dv -> v = -(1/2).e^-2x
et poser ln(1+2.e^x) = u -> [2.e^x/(1+2.e^x)]dx = du
S [(e^-2x) * ln(1+2e^x) dx ] = -(1/2).e^-2x .ln(1+2.e^x) + S e^-2x
.[e^x/(1+2.e^x)]dx
reste à trouver S e^-2x .[e^x/(1+2.e^x)]dx
e^-2x .[e^x/(1+2.e^x)] = e^-x /(1 + 2.e^x)
Poser e^-x = t -> -e^-x .dx = dt
1 + 2.e^x = 1 + (2/e^-x) = 1 + (2/t) = (t+2)/t
S e^-2x .[e^x/(1+2.e^x)]dx = - S [t/(t+2)].dt
ce qui ne pose plus de problème.
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Vérifie et continue. 
ce ne serait pas
S e^-2x .[e^x/(1+2.e^x)]dx = S [1/(t+2)].dt
à la fin ?
ou alors il y a une transformation que je n'ai pas comprise...
et après, je dois intégrer une nouvelle fois donc ?
merci encore
Ta question:
ce ne serait pas
S e^-2x .[e^x/(1+2.e^x)]dx = S [1/(t+2)].dt à la fin ?
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Non, car :
e^-2x .[e^x/(1+2.e^x)]dx = [e^-x/(1+2.e^x)]dx
Poser e^-x = t -> -e^-x .dx= dt -> e^-x .dx= -dt
on a 1 + 2.e^x = 1 + (2/e^-x) = 1 + (2/t) = (t+2)/t
et donc e^-2x .[e^x/(1+2.e^x)]dx = [e^-x/(1+2.e^x)]dx = -[1/((t+2)/t)]dt
= -(t/(t+2)).dt
->
S e^-2x .[e^x/(1+2.e^x)]dx = -S (t/(t+2)).dt
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avec t/(t+2) = (t+2-2)/(t+2) = 1 - (2/(t+2))
-S (t/(t+2)).dt = -S dt + 2 S dt/(t+2) = -t + 2.ln|t+2| + C = -e^-x
+ 2.ln(2+e^-x) + C
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Il reste à regrouper les morceaux (et à vérifier mes calculs que je
n'ai toujours pas relus).
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