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Dimension d'un espace
Bonsoir,
La question posée est : Quelle est la dimension de l'espace des matrices de M2(R) qui n'ont que des zéros sur la diagonale ? On demande la réponse et une démonstration.
Mon idée est que les matrices de M2(R) qui n'ont que des 0 sur la diagonale sont :
( 0, a, b, 0), où a et b sont réels ; donc il suffit d'avoir deux matrices (0, 1, 0, 0) et (0, 0, 1, 0) pour determiner cet espace. J'en déduis que la dimension de l'espace est 2.
Avez vous une idée pour le démontrer rigoureusement ?
Merci
Bonjour camalo.
Il semble que tu as proposé quelque chose qui ressemble à une base de l'espace en question, non ? Il reste à le vérifier.
Bonsoir, merci.
Montrer que ces deux matrices sont une base en revenant à la définition d'une base ? Que faire de l'hypothèse des zéros sur la diagonale ?
Que faire de l'hypothèse des zéros sur la diagonale ?
tu montres que toutes les matrices en question se décomposent bien de façon unique dans cette base.
Bonsoir,
Alors si je reprends :
Soit A = ( 0, a, b, 0) une matrice quelconque de l'espace des matrices de M2(R) qui n'ont que des 0 sur la diagonale.
- Vérifier que la famille composée des deux matrices (0, 1, 0, 0) et (0, 0, 1, 0) est génératrice de cet espace autrement dit qu'on peur reconstituer A comme combinaison linéaire de ces deux matrices
- Vérifier que la famille composée des deux matrices (0, 1, 0, 0) et (0, 0, 1, 0) est libre
Alors cet espace, notons V, a la propriété suivante : V = Vect ((0, 1, 0, 0) ; (0, 0, 1, 0)) et par liberté, c'est une base. Donc la dimension est 2
Est ce correct ?
C'est ça mais pour la rédaction, ceci suffit :
Alors cet espace, noté V, a la propriété suivante : V = est Vect {(0, 1, 0, 0) ; (0, 0, 1, 0)} et par liberté, c'est une base. Donc la Sa dimension est 2, le cardinal de la base.
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