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Niveau Maths sup
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Dimension d un SEV

Posté par jacko78 (invité) 05-03-05 à 17:52

Bonjour bonjour, eh bien voila bientot la rentrée et on se rend compte que les choses que l'on pensait evidentes et qu'on a laissé trainer jusque la ne sont pas si simples. Voila il me faudrait de l'aide la dessus si possible assez vite, bien que je sois le seul fautif pour le coup.

1er acte :
Déterminer le rang de la famille de vecteurs de 4 (u1,u2,u3,u4,u5).
u1=(1,2,3,4) u2=(3,4,5,6) u3=(5,6,7,8) u4=(7,8,9,10) u5=(9,10,11,12)

2eme acte :

Considerons l'ensemble E des suites (Un) telles que :
Un+3-(a+b+c)Un+2+(ab+ac+bc)Un+1-(abc)Un=0   avec (a,b,c)3.
Soit l'application allant de E vers 3 tq (Un)=(U0,U1,U2).
On a deja montré que est un isomorphisme de E dans (E). Et -1 aussi donc dim(E)=3.

La question est : Montrer que les suites ((an),(bn),(cn)) est une famille libre de vecteurs de E et en deduire l'expression de Un en fonction de n pour (Un) E.

Voila encore une fois je m'excuse pour cette exercice si tardif mea culpa. En attendant une reponse merci a vous d'avance

Posté par damathsup (invité)re : Dimension d un SEV 06-03-05 à 10:20

1/ faire la matrice des vecteurs
essaie d'avoir des coordonnées echelonnées pour avoir un max de zéro. et tu devrais trouver un ou + vecteur fonction de 1 ou + vecteur
ex v1 = u1 + u2 par conséquent rang(v1;u1;u2) = rang(u1;u2)

Posté par jacko78 (invité)re : Dimension d un SEV 06-03-05 à 12:41

Merci a toi mais n'existe-t-il pas une autre facon de faire? je n'ai pas encore traité des matrices en cours...

Posté par jacko78 (invité)re : Dimension d un SEV 06-03-05 à 15:31

SVP je vois qu'il y a du monde sur le site, vraiment personne ne peut m'aider? Pour le premier ca ne doit pas etre si difficile mais je n'y arrive vraiment pas...

Posté par BioZiK (invité)re : Dimension d un SEV 06-03-05 à 15:52

Il est évident que la famille de vecteurs est de rang 2.

En effet u2 = u1 + (2,2,2,2)
u3 = u2 + (2,2,2,2)
etc

on a donc u2 - u1 = (2,2,2,2)

ainsi u3 = 2 * u2 - u1

or u4 = u3 + (2,2,2,2)
u4 = u3 + u2 - u1
u4 = 3 * u2 - 2 * u1

de même u5 = u4 + (2,2,2,2)
u5 = u4 + u2 - u1
u5 = 4 * u2 - 3 * u1

ainsi on peut exprimer u3, u4 et u5 en fonction de u1 et u2
puisque (u1,u2) forme une famille libre de vecteurs (cela se montre simplement) alors la famille (u1,u2,u3,u4,u5) est de rang 2 !!

Posté par BioZiK (invité)re : Dimension d un SEV 06-03-05 à 15:54

si la famille était composée de n vecteurs on aurait

uk = (k-1)*u2 - (k-2)*u1

pour tout k entier apartenant à [2,n]

Posté par jacko78 (invité)re : Dimension d un SEV 06-03-05 à 16:11

Merci beaucoup  BioZiK c'est tres sympa de ta part de m'avoir aidé, j'ai bien compris ton raisonnement e ca me servira pour les prochaines fois encore merci. Si tu es a l'aide sur les rangs et les dimensions des espaces vectoriels, aurais tu le temps de me donner ton avis sur le second exercice s'il te plait ?
Merci encore

Posté par BioZiK (invité)re : Dimension d un SEV 06-03-05 à 16:31

pour l'exercice 2 je vois pas trop
j'ai fait le polynome caractéristique

x^3-(a+b+c)*x^2+(a*b+b*c+a*c)*x-a*b*c=0

les solutions sont a, b et c
quand aux solutions générales d'une telle équation je ne les connais pas pour le rang 3.

essaie de te renseigner sur la forme de telles solutions.

sinon essaie la méthode du cours pour montrer qu'une famille est libre mais ici je ne vois pas bien comment faire intervenir a^n b^n et c^n

Posté par jacko78 (invité)re : Dimension d un SEV 06-03-05 à 16:51

Merci tout de meme. Moi non plus je ne vois pas comment procéder j'ai aussi montré que ces 3 suites appartiennent a E, ce qui ne pose pas de probleme mais je n'ai pas reussia montrer qu'il s'agissait d'une famille libre.
Sur ce si quelqu'un trouve la faille il tombe du ciel et merci a lui.

Posté par jacko78 (invité)re : Dimension d un SEV 06-03-05 à 20:09

Allez svp si quelqu'un a le temps de regarder ca je repasserai tard dans la soirée mais ca serait vraiment sympa de m'aider pour le second exo...
Merci d'avance a bientot

Posté par jacko78 (invité)re : Dimension d un SEV 07-03-05 à 12:59

Je relance une derniere fois pour le second exo il me le faut pour demain enfin plutot pour ce soir ca serait vraiment génial.
merci a vous

Posté par titimarion (invité)re : Dimension d un SEV 07-03-05 à 19:02

Salut jacko
pour ton deuxième exo, je suppose qu'il faut supposer a,b et c tous trois différent.
Car alors la famille (a,a^2,a^3),(b,b^2,b^3),(c,c^2,c^3) est alors une famille libre de \mathbb R^3, en effet on obtient un déterminant de vandermonde (pas sur de l'orthographe)
qui est nul ssi a=b ou a=c ou b=c.
Ensuite tu peux vérifier aisément que \phi^{-1}(a,a^2,a^3)=(a^n)_{n\in\mathbb N} et tu vérifies le même argument pour b et c.
Et \phi^{-1} étant un isomorphisme tu as donc bien une famille libre  de E donc une base puisqu'elle possède 3 éléments.

Posté par jacko78 (invité)re : Dimension d un SEV 07-03-05 à 19:21

Bonjour titimarion et merci a toi pour ta réponse.
J'ai deux ou trois trucs a te demander:
Pour commencer je pense que tu as mal vu c'est en fait (an)=(1,a,a2) et idem pour b et c mais cela ne change peut etre rien a ta réponse, cependant je ne connais pas le determinant dont tu parles (mais je conviens qu'il faut a, b et c tous trois differents).

Si je comprend bien je dois d'abord verifier que la famille (1,a,a2),(1,b,b2),(1,c,c2) est une famille libre de 3, mais comment me le conseilles-tu si je ne connais pas ton discriminant ?

Ensuite ayant vérifié que -1(1,a,a2)=(an) et en avancant que -1 est isomorphe cela entraine que la famille ((an),(bn),(cn)) est une famille libre de E, c'est bien cela?

Dans ce cas on en deduit que c'est une base, ok je vois bien et cela me permettra-t-il d'en deduire l'expression
de Un en fonction de n pour (Un) E ? Ou bien dois-je passer par une autre méthode?

Merci d'avance je reste sur le forum

Posté par titimarion (invité)re : Dimension d un SEV 07-03-05 à 20:10

Salut,
en effet cela ne change rien à ma proposition, c'est même plus correct puisque j'ai parlé de déterminant de vandermonde
est-ce que tu as déjà vu les déterminants? si oui il te suffit de calculer ce détermminant il y a une méthode assez simple, sinon je vais essayer de trouver un moyen de trouver cela.
Pour ce qui est de l'expression de U^n
il faut voir que \phi(u_n)=(U_0,U_1,U_2)=\alpha(1,a,a^2)+\beta(1,b,b^2)+\gamma(1,c,c^2)
C'est en effet plus simple de trouver la décomposition dans \mathbb R^3 que dans E.
En suite tu peux dire que U_n=\alpha a^n+\beta b^n+ \gamma c^n en utilisant \phi^{-1}, pour trouver \alpha,\beta,\gamma il y a un moyen très simple mais il utilise les matrices et tu dis que tu ne les as pas vu.

Posté par titimarion (invité)re : Dimension d un SEV 07-03-05 à 20:26

J'ai trouvé un moyen de dire que la famille était libre,
il suffit de montrer qu'il n'existe pas deux réelles k et k' tel que
(1,c,c^2)=k(1,a,a^2)+k'(1,b,b^2)
en effet il est assez facile de voir que si l'on en prend 2 ils forment une famille libre car a différent de b.
Ensuite cela te donne si tu regardes termes à terme
1=k+k'
c=ka+k'b
c²=ka²+k'²b
donc k'=1-k
c=k(a-b)+b donc (c-b)=k(a-b)
ainsi c²=k(a²-b²)+b²=k(a-b)(a+b)+b²=(c-b)(a+b)+b²
donc (c²-b²)=(c-b)(a+b)
donc(c-b)(c+b)=(c-b)(a+b)
ce qui implique c+b=a+b et donc c==a
ou c-b=0 ce qui donne c=b ce qui dans tous les cas est absurde puisqu'ils sont différents dans leur ensemble.

Posté par jacko78 (invité)re : Dimension d un SEV 07-03-05 à 20:54

Merci beaucoup j'ai bien compris tout ton raisonnement. C'est vrai je n'ai pas encore vu les matrices je suis en mpsi et ca va certainement pas tarder mais je dois etre capable de le faire sans, sinon je ne l'aurai pas... Existe-t-il selon toi une autre méthode ?

Posté par titimarion (invité)re : Dimension d un SEV 07-03-05 à 21:12

Quand j'ai dis tu dis que tu ne les a pas vu ce n'est pas que je doute de ta parole, c'est juste que ca prenait 2 secondes de le faire comme cela.
Parcontre une méthode consisterait à écrire la base canonique(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) en fonction de la nouvelle base que tu as trouvée (1,a,a²),(1,b,b²),(1,c,c²) et à part te balancer la formule toute faite que j'obtiens à l'aide de la matrice de passage j'ai du mal à voir comment tu peux faire.
Je vais te la donner comme cela si tu trouves une méthode
(1,0,0)=\frac{bc(c-b)f_1+ac(a-c)f_2+ab(b-a)f_3}{(b-a)(c-a)(c-b)}
(0,1,0)=\frac{a(b^2-c^2)f_1+b(c^2-a^2)f_2+c(a^2-b^2)f_3}{(b-a)(c-a)(c-b)}
(0,0,1)=\frac{a^2(c-b)f_1+b^2(a-c)f_2+c^2(b-a)f_3}{(b-a)(c-a)(c-b)}
Ou f_1=(1,a,a^2) et etc...
ainsi tu peux calculer \alpha,\beta,\gamma en utilisant le fait que (U_0,U_1,U_2)=U_0(1,0,0)+U_1(0,1,0)+U_3(0,0,1) et ainsi exprimer ce vecteur en fonction de f1 f2 et f3 ainsi tu obtiens ce que tu veux mais sans les matrices ces formules me semble un peu compliqué à trouver et je n'ai pas trop le temps de chercher ce soir des calculs de ce genre.

Posté par jacko78 (invité)re : Dimension d un SEV 07-03-05 à 21:23

C'est pas grave tout ce que tu m'as donné est deja tres bien je vais essayer de trouver une autre methode pour determiner ces 3 reels... Merci beaucoup pour toute cette aide et a bientot



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