Bonjour, forcement infini, sinon on pourrait décomposer toute fonction sur un nombre fini de fonctions et on sait bien que ça n'existe pas.

Bonjour
on peut le montrer sans trop de fatigue, si on a quelques notions sur les valeurs propres et vecteurs propres, en considérant que les fonctions sont des vecteurs propres associés à la valeur propre k pour l'application linéaire D du sev ces fonctions dérivables de [0,1] dans , qui à toute f associe D(f) = f'.
on en a autant que de nombres k dans , et elles forment une famille libre puisque constituée de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
il existe donc dans l'espace des fonctions dérivables sur [0,1], qui est contenu dans celui des fonctions continues, une famille libre infinie (et pas qu'un peu ...)

Sauf erreur, on peut plus simplement considérer IR[X] l'ensemble des polynôme à coefficients réels. En effet, une base de cet EV est {1,t,t²,...} qui est clairement infinie, ça montre que l'espace des fonctions C(IR,IR) est de dimension infinie et à fortiori C¹([0,1],IR).

ton infini est dénombrable, le mien est celui de