Bonjour,

Une piste :

Avec la condition donnée tu peux majorer dim(Im(A)) et avec le théorème du Rang minorer dim(Ker(A)).

On a alors que u1-u2, u1-u3, u1-u4, u2-u3, u2-u4, u3-u4 sont dans le noyau.

Mais je ne vois pas comment conclure par rapport à dim(Im(A)). Intuitivement, on dirait que ces vecteurs sont redondants.


Merci pour l'aide

Bonjour,

Oui, c'est très redondant. Par exemple, . Ne peux-tu pas extraire une famille libre contenue dans le noyau ?

Ok, donc il faut montrer que Vect(w1,...,w6) = Vect(u1,...,u4) ?

w1,...,w6 les vecteurs de différence.

Comment sait-on qu'il y a 4 vecteurs libres dans cette famille de 6 vecteurs ?

Bonjour,

si la minoration est bien avec  p  ( ce qui m'étonne un peu)  la conclusion est un noyau de dimension supérieure à  p  or l'espace de départ est de dimension p ....

Excusez-moi la minoration est avec 4

ok, déjà pour se donner une idée  si  b  = 0  alors la conclusion est vraie....

maintenant dans le cas général tu choisis  4 des vecteurs dans les 6 que tu as écrit et tu montres qu'ils forment un système libre ... en revenant à la définition par exemple.

En prenant (u1-u3), (u1-u2), (u2-u3) et (u1-u4), je n'obtiens pas un système libre.

Hum...
Il sera très difficile de trouver une famille fibre de 4 vecteurs !!!

redglove42, donne ton énoncé exact.

Ok. je vais généraliser dans ce cas-là.

Soit A une matrice de taille nxp. Soit (u1,...,uj,...,uk) des vecteurs linéairements indépendants de R^p tels que Auj = b, k < p.

Est-ce que cela implique que dim(Ker(A))k ?

Je voulais prendre un exemple pour généraliser ensuite...

Tu peux prendre l'exemple , avec .

Je te laisse réfléchir dessus.

Si cette question vient d'un exercice, peux-tu nous donner l'énoncé exact ?

On a donc k solutions (linéairement indépendantes) de $Ax = b$.

Peux-tu formuler ta question plus clairement et plus précisément, en introduisant bien toutes les notations ? Merci.

bonjour,
  
Notons f l'application linéaire de E_p dans F_n de matrice A
Dim(E_p)=p, dim(F_n)=n tout deux de dimension finie

Si b=0 alors il est possible que  A est la matrice de l'application nulle de E_p dans E_n donc dans ce cas  Dim(ker(f)= ?

Posons  G=vect{U₁,U₂,U₃,U₄}  
H=vect{b} on suppose    donc Dim(H)=1

Comme tu dois le savoir G/ker(g) isomorphe à Im(g) et rang(g)=Dim(Im(g)

rang(g)+Dim(ker(g))=dim(G) donc 1=Dim(ker(g)+4 donc Dim(ker(g)=3

alors quelle est la dimension maximale possible  de Ker(A) dans ce cas ?

bonjour,
Si tu restais dans ton sujet initial !
tu écris XI_n=pI_n
X est une matrice de m colonnes  et I_n est si j'ai bien compris une matrice colonne de n lignes, tu ne peux pas les multiplier sauf si m=n

Oui tu as raison.

Comme j'ai pu le citer au préalable, mon énoncé provient d'une requête de GBZM.

Je m'excuse si je n'ai pas suivi les règles.

Comment je peux démontrer ce résultat ?

Je bloque complètement.

Merci pour l'énoncé.

J'ai un gros doute sur la propriété à démontrer. Prenons , , et
Le rang de est 2, et je ne pense pas que 2 soit inférieur ou égal à .

Excuse-moi, il y a une erreur dans la propriété -_-. Je suis désolé.

Propriété : Si X un tableau disjonctif complet alors rang(X) = m - p + 1 et si n > m alors le nombre de valeurs propres non triviales (0 ou 1) vaut m-p.

9a ne peut pas être ça : si n>m, la matrice X n'est pas carrée. Comment parler des valeurs propres de X ?

Au bout de plus d'une vingtaine de messages dans ce fil, pourrait-on enfin avoir un énoncé correct et complet ?

Propriété : Si X un tableau disjonctif complet de taille n×m alors rang(X) = m - p + 1.

Les te fournissent relations linéaires indépendantes entre les colonnes de et le vecteur (donc vecteurs au total).

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris. Oui, les colonnes de Xj sont bien linéairement indépendantes.

Car tu as évoqué qu'il existait p relations linéairement indépendantes. Est-ce que tu peux expliciter ton explication ? Je ne l'ai pas comprise.

Donnons nous une famille de éléments d'un espace vectoriel sur le corps
Une relation linéaire entre ces vecteurs est un élément tel que . Les relations linéaires entre forment un sous espace vectoriel de . Le rang du système est si et seulement si la dimension du sous-espace des relations linéaires est . En effet, le sous-espace des relations linéaires est le noyau de l'application linéaire


dont l'image est le sous-espace vectoriel engendré par .

Ici, tu as relations linéaires entre les vecteurs colonnes de et . Je dis que ces relations linéaires sont indépendantes (vérifie).  Ensuite, tu peux conclure.

Bonjour,

Je te remercie beaucoup  pour ta réponse.

Avec plaisir. As-tu pu conclure ?

Non, je n'y arrive pas. Je vois bien que les p relations linéaires sont linéairement indépendantes. Tout ce que je peux dire c'est qu'elles sont dans le noyau donc dim(Ker) p. C'est tout, je vois pas sinon

Que peux tu dire du rang du système de vecteurs formé par les vecteurs colonnes de et le vecteur ? Ensuite, du rang de ?

Le Rang de X et 1n est inférieure à m car 1n est combinaison linéaire  des colonnes de X donc le rang de X est inférieure à m car X inclus dans X et 1n.

Tu ne tiens aucun compte des explications que j'ai données sur le rang d'un système de vecteurs sur lesquels on a p relations linéaires indépendantes.

En fait, il faut démontrer que dim(Ker([X|1n]) = p puis démontrer que rang([X,1n]) = rang(X), n'est-ce pas ?

Merci pour tes aides ultérieures. Excuse-moi pour le retard.

rang([X,1]) = rang(X), ça c'est évident. Il faut donc que je démontre que dim(Ker([X,1]) = p.

Tu as tout ce qu'il faut pour ça dans les indications que je t'ai données dans mon message du  23-09-21 à 10:48.

Merci