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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Dimension du noyau d'une matrice

Posté par
KMomo
05-10-22 à 18:27

Bonjour,
J'ai une question sur laquelle je n'arrive pas à trouver de reponse sur internet fiable et mon cours ne la mentionne pas.

Soit A une matrice m*n
Est-ce que la dimension de ker(a) est equivalente a la dimension de ker(aT) ?

Car j'ai un exercice ou j'ai une matrice A 5*3 et on me demande la dimension de ker(aT).
Le th du rang est mentionné comme ceci dans le cours :
rang(A) =  rang(At) = dim(A) - dim ker(A)
Je sais que le rang de ma matrice = 3 et que dim(A) = 3 donc dim(kerA) = 0
Mais peut on dire que dim ker(At) = 0 aussi ?

J'ai la correction de l'exercice et justement la correction c'est :
Par theoreme du rang dim ker(At) = 0 mais pas plus de détails

Sinon j'ai une autre piste, est ce que peut on dire que la dimension d'une matrice transposée est r - m ?
Car la dimension d'une matrice A est m - r ?

Merci pour toute réponse.

Posté par
KMomo
re : Dimension du noyau d'une matrice 05-10-22 à 18:29

KMomo

edit grosse erreur de ma part a la fin
je voulais dire :

Sinon j'ai une autre piste, est ce que peut on dire que la dimension d'une matrice A transposée est m - r?
Car la dimension d'une matrice A est n - r ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Dimension du noyau d'une matrice 05-10-22 à 18:55

Bonsoir
qu'appelles-tu "dimension" d'une matrice, quand elle n'est pas carrée ? son nombre de colonnes ?

je pense que la réponse à ta question est dans la formule du rang que tu nous as rappelée, en y remplaçant A par sa transposée, sachant que la transposée de la transposée de A, c'est A

mais j'ai du mal à voir comment le noyau d'une matrice à 3 lignes et 5 colonnes pourrait être de dimension strictement inférieure à 2...

Posté par
KMomo
re : Dimension du noyau d'une matrice 05-10-22 à 20:00

Bonsoir,
Non pour moi la dimension d'une matrice c'est le nombre n de lignes donc si c'est une matrice 5*3 la dimension est R au cube.

J'ai peut etre trouvé une reponse a la question en attendant :
Si on pose U la matrice echelonnée de A on a dim(ImUt) = dim(ImAt) car on sait que Im(Ut) = Im(At) (c'est dans le cours)
Mais dim Im(At) = rang(At)
Par th. du rang on a rang(A) = rang(At) = dim Im(At)
Donc on peut obtenir ker(At) par le meme theoreme :

rang(A) = rang(At) = dim Im(At) = dim(At) - dim ker(At)

dim ker(At) = dim (At) - dim Im(At)

Et si on pose dim ker(A) /= dim (A) - dim Im(A) sachant que dim Im(A) = dim Im(At)

ker(A) ne peut pas etre egal a ker(At) a part si A est une matrice carré car la dimension de la transposée de A n'est pas egale à la dimension de A

C'est un peu bancale mais je pense etre sur la bonne voie

Posté par
lafol Moderateur
re : Dimension du noyau d'une matrice 05-10-22 à 22:46

c'est curieux, ta définition de la dimension d'une matrice .... c'est quoi ce R au cube
dans la formule du rang, c'est au nombre de colonnes de A qu'est égal dim ker A + rg(A), en plus

(sauf si tu ne définis pas ker A comme d'habitude....)

Posté par
KMomo
re : Dimension du noyau d'une matrice 06-10-22 à 12:57

Effectivement je suis en train de mélanger un peu tout.
Effectivement la taille d'une matrice correspond à son nombre de colonnes donc la taille d'une matrice 5x3 est bel et bien égal à R^5.

Est ce que on peut applique le théorème du rang sur la transposée d'une matrice ?
Par exemple :
Soit A une matrice m*n
nombre colonnes AT = rang(AT) - dim Ker(AT)

Posté par
KMomo
re : Dimension du noyau d'une matrice 06-10-22 à 13:01

Non j'ai encore dit n'importe quoi….
La matrice qu'on étudie dans l'exercice est bien de dimension 3 car elle a 3 colonnes

En général une matrice A de dimension m*n avec m = nombre de lignes et n = nombre de colonnes a pour dimension R^n

Posté par
Rintaro
re : Dimension du noyau d'une matrice 06-10-22 à 14:04

Bonjour,

j'interviens simplement pour ça :

KMomo @ 06-10-2022 à 13:01


En général une matrice A de dimension m*n avec m = nombre de lignes et n = nombre de colonnes a pour dimension R^n


c'est n'importe quoi... tu utilises la définition de dimension pour la "redéfinir" dans la suite (et surtout, c'est quoi ce R à la fin ??!!). La dimension d'une matrice c'est son nombre de lignes multiplié par son nombre de colonnes : point. On peut aussi mettre ça sous la forme d'un couple (n, m) pour dire que c'est une matrice à n lignes et m colonnes, ou on écrit n*m.

Je laisse lafol continuer, bonne journée.



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