Niveau Maths sup

Dimension finie et application linéaire

Posté par
sarb 26-02-24 à 20:32

Bonjour j'essaie de faire des exercices de dimension finie mais certains me bloquent, en voici un, merci de votre aide:

Soit E un K-ev de dimension finie, V un sev de E et fL(E).
On suppose que Vf(V).
Montrer que f(V) = V

Je ne vois pas du tout comment faire, j'avais pensé à considérer la restriction de f à V et peut-être montrer le caractère surjectif ?

Merci de votre aide

Posté par re : Dimension finie et application linéaire 26-02-24 à 22:42

Bonsoir

Quand V est un sev de dimension d, f(V) est toujours un sev de dimension inférieure à d

Cela s'explique car si (v_1,...,v_d) est une base de V, alors (f(v_1)...,f(v_n)) est une famille génératrice de f(V)

Le reste est immédiat

Posté par re : Dimension finie et application linéaire 26-02-24 à 22:42

rectification : alors (f(v_1)...,f(v_d)) est une famille génératrice de f(V)

Posté par re : Dimension finie et application linéaire 26-02-24 à 22:55

Bonjour sarb

$\boxed{\bullet}$ L'égalité $f(V)=V$ est triviale si $V=\{0_E\}$ .

$\boxed{\bullet}$ On peut donc supposer $V\neq\{0_E\}$ .

$f(V)$ étant un sev de $E$ on a $f(V)$ de dimension finie.

L'inclusion $V\subset f(V)$ donne alors $dim(V)\leqslant dim(f(V))$

et comme il est facile de montrer que si $(u_1,...,u_p)$ engendre $V$ alors $(f(u_1),...,f(u_p))$ engendre $f(V)$ ,

on voit que $dim f(V)\leqslant dim(V)$ ...

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