Bonjour !
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Famille de dimension infinie, cela ne veut rien dire : une famille n'est pas un espace vectoriel.
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Oui la famille est libre : si tu écris une combinaison linéaire (forcément finie) nulle le coefficient du terme de plus haut degré sera nul et tu continues par récurrence.

Bonjour, merci beaucoup !

Est ce qu'on peut aussi le justifier en disant que c'est une famille de polynômes de degrés deux à deux distincts ?

Pour la rédaction, est ce qu'il est mieux de dire :

Pour tout n de N*, notons P_n : X --> X²ⁿ
La famille (Pn) est une famille libre de F (chacun des polynômes est pair). De plus, cette famille comporte une infinité de vecteur : F est donc de dimension infinie.

Est-ce que c'est cohérent au niveau du vocabulaire ?

Remarque : si tu écris tu ne définis pas un polynôme mais une fonction polynôme.

Famille libre parce que degrés deux à deux distincts est une très bonne réponse.

En revanche tu n'as jamais montré que la famille est génératrice de l'espace des polynômes pairs.
En toute rigueur tu as seulement : Un sous-espace (celui qui est engendré par les ) est de dimension infinie. Ce qui implique effectivement que lui-même est de dimension infinie mais il serait plus correct de montrer que tu as une base.

Pour être sure d'avoir bien compris...:

Enoncé :
E est l'espace des suites réelles, E_conv est l'ensemble des suites (éléments de E) qui convergent, E_o est l'ensemble des suites qui convergent (éléments de E_conv) vers 0.
Montrons que E est de dimension infinie.

Solution :
Montrons donc qu'il existe une famille libre de E qui comporte une infinité de vecteurs.

Définissons pour tout n de N , Un = (1/2)ⁿ

La famille L = (1 ; 1/2 ; 1/4 ; .. ; 1/2ⁿ) est libre (facile à montrer, je ne l'écris pas ici...)

De plus, toutes les suites de L convergent vers 0, L est une famille libre de E_o, dont les éléments sont dans E_conv, donc une famille libre de E_conv, dont les éléments sont dans E, donc finalement : L est une famille libre de E composée d'une infinité de vecteurs..... E est de dimension infinie.

Est-ce juste ?
Merci !

Bonjour, je n'avais pas vu votre réponse.
Qu'est ce que ça fait si je ne définis pas un polynôme mais une fonction polynôme ? D'ailleurs, je veux définir une famille de polynôme, donc ce n'est pas bon ? (Pn) n'est pas une famille ?

Comme d'après le théorème de Steinitz, nous avons :
dim (fam. Libre) dim (fam. Génératrice)
Montrer que la famille est libre ne suffit pas ?

Si tu dois utiliser un jour des polynômes avec des coefficients dans un corps fini tu auras des surprises à confondre "polynôme" et "fonction polynôme".

Pour ta dernière question je suis d'accord, j'avais seulement mis  "plus correct" ce qui n'est pas bien difficile dans ton cas.

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Concernant ton espace de suites réelles tu proposes ce que tu penses être une famille libre sans la définir raisonnablement.

Si tu veux une famille de éléments de ton espace il est indispensable de définir chacune des suites en donnant l'image (réelle, puisque tu te places dans ce contexte) de chaque entier .

Ce que tu écris est un uple de réels, pas un uple de suites. Parler de l'indépendance de ce uple  c'est ne rien dire de sérieux.

Je comprends ce que vous voulez dire, dans ce cas, je ne sais pas trop comment m'y prendre....
Je veux une famille (f₁,...f_p) libre (composée de suites ?).
Si on définit, pour tout k de N*, pour tout n de N :
f_k(n) = (1/k)ⁿ

Par exemple, est ce que ça marche ? Dans ce cas, la famille (1, 1/2ⁿ, 1/3ⁿ, ..., 1/kⁿ) est libre, et c'est bien une famille de suite et pas de nombres réels ?

Je continue d'y réfléchir cet après midi, à ce soir.
Merci !

Non ce que tu écris est toujours une famille de réels.
Tu devrais écrire pour avoir une famille de suites.
Ou encore, famille des suites .

Quant à savoir si elles sont indépendantes un minimum de démonstration s'impose !
Soit une combinaison linéaire nulle. Les coefficients sont-ils tous nuls ?
Tu pourrais écrire par exemple, pour tout et en déduire la nullité des .
C'est moins facile que ton affirmation sans démonstration...
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Habituellement, dans les espaces de suites, on utilise les suites où un seul terme vaut 1, les autres nuls.
La notation condensée est   (symbole de Kronecker, si tu connais). Cela veut dire tout bêtement et .

Toute sous-famille finie de la famille est libre, je te laisse le soin de le faire.
Comme tu as exhibé une famille libre infinie l'espace est de dimension infinie.

Merci de pas énoncer comme tu l'as fait :

Citation :

Comme d'après le théorème de Steinitz, nous avons :
dim (fam. Libre) dim (fam. Génératrice)

Merci c'est gentil d'avoir pris le temps de répondre, je vais retravailler tout ça y compris votre exemple... Bonne soirée

Bonjour, excusez moi de vous déranger à nouveau. Pour être sure d'avoir bien compris, la fonction avec le symbole de Kronecker s'interprète t elle de la manière suivante :

f_k(n) =
1 si k=n
0 sinon
?

oui, bon dimanche.