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Niveau Licence Maths 1e ann
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Dimension infinie

Posté par
camalo
09-03-18 à 01:01

Bonsoir à tous,

Je souhaiterais trouver la dimension de  F = { P R[X] , P(-X) = P(X) }.
C'est l'ensemble des polynômes paires.
Je cherche une famille libre de F de dimension infinie, pour montrer que F est de dimension infinie.
Est-ce que la famille définie pour tout n entier naturel non-nul :
X --> X2k , 1 <= k <= n
Convient ?
Elle est infinie, les polynômes sont pairs, quant à la liberté, je ne sais quoi en penser ... Comment le démontrer ? Avez-vous d'autres idées ?

Merci par avance.

Posté par
luzak
re : Dimension infinie 09-03-18 à 08:49

Bonjour !
.......................
Famille de dimension infinie, cela ne veut rien dire : une famille n'est pas un espace vectoriel.
.........................

Oui la famille X^{2n},\;n\in\N est libre : si tu écris une combinaison linéaire (forcément finie) nulle le coefficient du terme de plus haut degré sera nul et tu continues par récurrence.

Posté par
camalo
re : Dimension infinie 09-03-18 à 09:12

Bonjour, merci beaucoup !

Est ce qu'on peut aussi le justifier en disant que c'est une famille de polynômes de degrés deux à deux distincts ?

Pour la rédaction, est ce qu'il est mieux de dire :

Pour tout n de N*, notons Pn : X --> X2n
La famille (Pn) est une famille libre de F (chacun des polynômes est pair). De plus, cette famille comporte une infinité de vecteur : F est donc de dimension infinie.

Est-ce que c'est cohérent au niveau du vocabulaire ?

Posté par
luzak
re : Dimension infinie 09-03-18 à 12:22

Remarque : si tu écris P_n : X\mapsto X^{2n} tu ne définis pas un polynôme mais une fonction polynôme.

Famille libre parce que degrés deux à deux distincts est une très bonne réponse.

En revanche tu n'as jamais montré que la famille est génératrice de l'espace des polynômes pairs.
En toute rigueur tu as seulement : Un sous-espace (celui qui est engendré par les P_n) est de dimension infinie. Ce qui implique effectivement que F lui-même est de dimension infinie mais il serait plus correct de montrer que tu as une base.

Posté par
camalo
re : Dimension infinie 09-03-18 à 12:28

Pour être sure d'avoir bien compris...:

Enoncé :
E est l'espace des suites réelles, Econv est l'ensemble des suites (éléments de E) qui convergent, Eo est l'ensemble des suites qui convergent (éléments de Econv) vers 0.
Montrons que E est de dimension infinie.

Solution :
Montrons donc qu'il existe une famille libre de E qui comporte une infinité de vecteurs.

Définissons pour tout n de N , Un = (1/2)n

La famille L = (1 ; 1/2 ; 1/4 ; .. ; 1/2n) est libre (facile à montrer, je ne l'écris pas ici...)

De plus, toutes les suites de L convergent vers 0, L est une famille libre de Eo, dont les éléments sont dans Econv, donc une famille libre de Econv, dont les éléments sont dans E, donc finalement : L est une famille libre de E composée d'une infinité de vecteurs..... E est de dimension infinie.

Est-ce juste ?
Merci !

Posté par
camalo
re : Dimension infinie 09-03-18 à 12:32

Bonjour, je n'avais pas vu votre réponse.
Qu'est ce que ça fait si je ne définis pas un polynôme mais une fonction polynôme ? D'ailleurs, je veux définir une famille de polynôme, donc ce n'est pas bon ? (Pn) n'est pas une famille ?

Comme d'après le théorème de Steinitz, nous avons :
dim (fam. Libre) dim (fam. Génératrice)
Montrer que la famille est libre ne suffit pas ?

Posté par
luzak
re : Dimension infinie 09-03-18 à 12:56

Si tu dois utiliser un jour des polynômes avec des coefficients dans un corps fini tu auras des surprises à confondre "polynôme" et "fonction polynôme".

Pour ta dernière question je suis d'accord, j'avais seulement mis  "plus correct" ce qui n'est pas bien difficile dans ton cas.

...................................
Concernant ton espace de suites réelles tu proposes ce que tu penses être une famille libre sans la définir raisonnablement.

Si tu veux une famille (f_1,\dots,f_p) de p éléments de ton espace il est indispensable de définir chacune des suites f_k en donnant l'image (réelle, puisque tu te places dans ce contexte) f_k(n) de chaque entier n.

Ce que tu écris est un n-uple de réels, pas un n-uple de suites. Parler de l'indépendance de ce n-uple  c'est ne rien dire de sérieux.

Posté par
camalo
re : Dimension infinie 09-03-18 à 13:06

Je comprends ce que vous voulez dire, dans ce cas, je ne sais pas trop comment m'y prendre....
Je veux une famille (f1,...fp) libre (composée de suites ?).
Si on définit, pour tout k de N*, pour tout n de N :
fk(n) = (1/k)n

Par exemple, est ce que ça marche ? Dans ce cas, la famille (1, 1/2n, 1/3n, ..., 1/kn) est libre, et c'est bien une famille de suite et pas de nombres réels ?

Je continue d'y réfléchir cet après midi, à ce soir.
Merci !

Posté par
luzak
re : Dimension infinie 09-03-18 à 14:02

Non ce que tu écris est toujours une famille de réels.
Tu devrais écrire (f_1,f_2,\dots,f_k) pour avoir une famille de suites.
Ou encore, famille des suites \Bigl(n\mapsto 1\Bigr),\Bigl(n\mapsto\dfrac1{2^n}\Bigr),\dots,\Bigl(n\mapsto\dfrac1{k^n}\Bigr).

Quant à savoir si elles sont indépendantes un minimum de démonstration s'impose !
Soit f=\sum_{1\leqslant p\leqslant k}a_pf_p une combinaison linéaire nulle. Les coefficients sont-ils tous nuls ?
Tu pourrais écrire par exemple, pour tout n\in\N,\;0=f(n)=\sum_{1\leqslant p\leqslant k}\dfrac{a_p}{p^n} et en déduire la nullité des a_p.
C'est moins facile que ton affirmation sans démonstration...
................................................
Habituellement, dans les espaces de suites, on utilise les suites où un seul terme vaut 1, les autres nuls.
La notation condensée est  f_k(n)=\delta_{k,n} (symbole de Kronecker, si tu connais). Cela veut dire tout bêtement \forall n\in\N,\;\delta_{n,n}=1 et \forall(p,q)\in\N^2,\;p\neq q\implies \delta_{p,q}=0.

Toute sous-famille finie de la famille (f_k)_{n\in\N} est libre, je te laisse le soin de le faire.
Comme tu as exhibé une famille libre infinie l'espace E est de dimension infinie.

Merci de pas énoncer comme tu l'as fait :

Citation :

Comme d'après le théorème de Steinitz, nous avons :
dim (fam. Libre) dim (fam. Génératrice)

Les familles n'ont pas de dimension. Ton résultat concerne probablement les cardinaux des ensembles à condition de savoir ce que cela veut dire.

............................
Mais ce n'est pas une base de E.
Si tu prends la suite constante n\mapsto 1 qui est élément de E, tu ne pourras pas l'exprimer par combinaison linéaire des f_k,\;k\in\N.

Mais la famille proposée serait une base pour le sous-espace des suites "nulles à partir d'un certain rang"...

Posté par
camalo
re : Dimension infinie 09-03-18 à 20:35

Merci c'est gentil d'avoir pris le temps de répondre, je vais retravailler tout ça y compris votre exemple... Bonne soirée

Posté par
camalo
re : Dimension infinie 11-03-18 à 11:30

Bonjour, excusez moi de vous déranger à nouveau. Pour être sure d'avoir bien compris, la fonction avec le symbole de Kronecker s'interprète t elle de la manière suivante :

fk(n) =
1 si k=n
0 sinon
?

Posté par
luzak
re : Dimension infinie 11-03-18 à 12:53

oui, bon dimanche.

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