J'avais mal vu le théorème de Riesz, il s'agit d'une équivalence ce qui répond non à ma deuxième question.

Je précise donc ma première question en:
Le Théorème des Bornes Atteintes reste t-il valide dans un espace vectoriel normé de dimension infinie sur un fermé borné ?

Bonjour

Regarde "Théorème de Banach-Steinhaus"

Ok merci.

J'ai regardé mais dans mes hypothèses (de ma première question) je me place sur des espaces vectoriels normés (pas forcément complet) donc aucune chance d'appliquer le théorème (la démonstration utilise Bair3 qui nécessite la complétude)..

Mais en admettant qu'on se place sur un Banach et que l'application continue considérée soit linéaire : je considère une famille à un élément constituée de notre application et on en déduit que sa norme est bornée, mais que dire de son image .. ?

C'est peut-être d'une autre manière qu'il faut appliquer le théorème ?

Si l'espace n'est pas complet, il est facile de trouver des exemples de fonctions non bornées sur la boule unité.

Prends l'espace des polynômes réels muni de la norme et regarde l'application linéaire .

Pour ta deuxième question: La norme d'UNE application est évidemment bornée! Il me semble que dans le cas envisagé il existe des formes linéaires non continues, donc d'image non bornée. (Mais j'avoue que tout ça s'est plutôt loin de moi!)

Ok merci beaucoup j'ai compris ton exemple.

Je me permets d'ajouter une question dans ce fil.

Je me donne un espace de Banach de dimension infinie et une suite de fonctions de classe sur à valeurs dans , avec partie de .

Je suppose que les différentielles de converge uniformément vers , un élément de .

Je cherche quelles hypothèses sont nécéssaires sur pour que cette converge soit bien définie ? En effet je crois que cette convergence uniforme s'exprime par

Il est donc nécéssaire que soit bornée.