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Dimension vs nombre d'éléments
Bonjour à tous
Je bloque sur une notion et cela n'empêche d'avancer.
En algèbre linéaire, on dit que dim est la dimension de
mais je ne comprends pas bien si la dimension correspond au nombre d'éléments dans le n uplet ou au nombre de vecteurs nécessaires pour exprimer n'importe quel vecteur de cet espace vectoriel.
L'exemple qui me perturbe est dans la famille (2,0,1,5,3)(3,0,0,1,5)(4,3,2,1,0) n'est pas génératrice. Je ne comprends pas pourquoi.
La base canonique de
contient 5 éléments. Et ici j'ai 3 vecteurs. Puisque chacun des vecteurs contient 5 éléments, je devrais pouvoir exprimer chacun des vecteurs de
en fonction des 3 vecteurs ?
Ca me depasse pouvez vous m'expliquer svp ?
Merci
Bonjour,
Essaie simplement d'exprimer les 5 vecteurs de la base canonique à partir de tes 3 vecteurs.
Il va y avoir un os dans l'potage.
bonjour,
je suis ton raisonnement jusqu'au bout ...
le vecteur (1;1;1;1;1) contient 5 "éléments" ... (ce sont des coordonnées, pas des éléments !) donc tout vecteur de 
5 doit pouvoir s'écrire comme combinaison linéaire de ce vecteur
étonnant non ?
Sanantonio
Ca ne fonctionne pas tu as raison.
Matheuxmatou
Effectivement ca prends son sens donc la dimension n'est pas le nombre de coordonnees.
Je ne vois tjrs pas à quoi correpond la dimension d'un EV par contre. Dsl.
Merci
Bonsoir,
Très grossièrement et sans rigueur : Toutes les bases (familles de vecteurs à la fois libres et génératrices) d'un espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de cet espace.
ben si...dans n il y a n coordonnées et c'est de dimension n ...!
je crois que tu n'as pas bien saisi la signification de "base" et de "coordonnées" !
"base canonique de n " ... cela t'évoque quelque chose ?
Merci pour vos réponses.
Matheuxmatou : si j'ai bien compris.
En fait ce qui me perturbe, c'est les cas ou dim E <n et dim E>n. Avez vous des exemples de ces cas de figures ?
2) Si une famille est generatrice de n vecteurs dans E alors la dim de E est nécessairement n ?
En fait ce qui me perturbe, c'est les cas ou dim E <n et dim E>n. Avez vous des exemples de ces cas de figures ?
2) Si une famille est generatrice de n vecteurs dans E alors la dim de E est nécessairement n ?
1) E=
n-1 a une dimension <n et E=n+1 a une dimension >n ... !
2) Non ! il faudra quand même apprendre le cours un peu plus rigoureusement...
Une famille génératrice de n vecteurs entraine une dimension
n
Une famille libre de n vecteurs entraine une dimension
n
Bonjour,
Peut-être confonds-tu "terme" et "coordonnée".
Dans 3 , on peut écrire le triplet (1,2,3).
1,2,3 sont les termes du triplet. Ce sont aussi les coordonnées du triplet dans la base canonique de 3.
A ce propos, tu n'as pas répondu à
"base canonique de
n " ... cela t'évoque quelque chose ?Si E est l'espace vectoriel des triplets (a,b,c) de
3 tels que c = a+b , alors la dimension de E est 2 .
Une base de E : ( (0,1,1) ; (1,0,1) ).
Coordonnées de (1,2,3) dans cette base : 2 et 1 car (1,2,3) = 2.(0,1,1) + 1.(1,0,1) .
Bonjour Sylvieg,
L'exemple que tu donnes est très parlant;l'idée de décomposition est pertinente:
u=(1,2,3) ;v=(0,1,1);w=(1,0,1) et u(1,2,3)=2(0,1,1)+1(1,0,1)
En reprenant l'exemple "(2,0,1,5,3);(3,0,0,1,5);(4,3,2,1,0)" n'est pas générateur en effet: un vecteur quelconque ne pourra s'exprimer comme combinaison linéaire du tiercet donné.
Rn correspond à n composantes.
Alain
Neanmoins j'aurais une derniere question.
La dimension d'un EV est le nombre d'éléments de sa base.
Une famille génératrice de n vecteurs entraine une dimension
n.
Avez vous un exemple d'un tel cas de figure. Comment la dim peut être inférieure à n si par définition une base est une famille génératrice et libre.
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