Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Discriminant d'un trinôme du second degré
Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre, je suis en seconde.Le problème c'est que je ne le comprends pas. Pourriez vous m'aider mais sans me le faire s'il vous plaît ?
Soit f une fonction définie sur R par f(x) = ax² + bx + c.
1. Montrer que f(x) = a [ (x + b/2a)² - b²-4ac / 4a²
On pose à présent Δ = b²-4ac que l'on appelle discriminant de F(x).
Bonjour 
,
Surtout ne pars pas de f(x) = ax² + bx + c pour espérer trouver a [ (x + b/2a)² - (b²-4ac) / 4a²], ça ça risque d'être très compliqué : pars plutôt de l'expression a [ (x + b/2a)² - (b²-4ac) / 4a²] et simplifie-la, tu vas trouver (après calcul) que c'est bien égal à ax² + bx + c.
Vas-y étape par étape :
- Développe déjà (x + b/2a)² = ...
Merci de bien vouloir m'aider.
(x + b/2a)
= x² + b/2a * 2x + (b/2a)²
= x² + (b/a)x + b²/4a
Est-ce bon ?
Bonjour,
Tout d'abord, on met a en facteur (qu'on suppose non nul sinon ce n'est plus un polynôme du second degré)
Ensuite, il faut servir de l'identité remarquable (u+v)2=u2+2uv+v2
Si on écrit maintenant (x+v/2)2=x2+vx+v2/4, on commence à voir poindre une expression qui ressemble à quelque chose de connu
Oui désolée.
(x + b/2a)² - (b²-4ac) / 4a²
= x² + (b/a)x + b²/4a² - (b²-4ac)/4a²
= x² + (b/a)x - 4ac
Est ce bon maintenant ?
Non, pas - 4ac à la fin.
x² + (b/a)x + b²/4a² - (b²-4ac)/4a²
= x² + (b/a)x + b²/4a² - b²/4a² + 4ac/4a² en séparant la fraction en 2 morceaux (et en faisant gaffe aux signes -)
Ok c'est bon je viens de comprendre.
Je suis désolée je ne suis pas très forte en Maths =S
Mais après que dois je faire ?
Mettre a en facteur ?
Ouep.
Donc dans la formule du début, on vient de montrer que tout ce qui était entre crochets est égal à x² + (b/a)x + c/a.
Il reste à multiplier par a...
ax² + bx + c : Tadam ! c'est bien ce qu'on voulait, ouf. Grand machin = ax² + bx + c = f(x), on a prouvé l'égalité voulue.
Je veux bien, si tu donnes la suite de l'exo...
En posant ∆=b²-4ac, on a donc montré que : f(x) = a*[(x+b/2a)² - ∆/4a²]
[Hum, peut-être que tu vas réussir la suite de l'exo seule, aussi : essaye, et tu diras si tu bloques !]
On pose à présent Δ = b²- 4ac que l'on appelle discriminant de f(x)
2. On suppose dans un premier temps que Δ < 0
Montrer que l'équation f(x)=0 n'admet aucune solution dans R.
Je ne comprends pas la consigne. Comment peut on faire pour n'avoir aucune solution ?
Eh bien, il y a des équations qui n'ont pas de solution, ça existe : par exemple, l'équation x²=-3 n'a pas de solution (un carré est toujours positif).
Regarde ce que ça veut dire que f(x)=0, et montre que ce n'est pas possible (par un argument similaire à celui de mon exemple). (Dans le cas où Δ < 0 bien sûr.)
Gné ? b² ne risque pas d'être négatif, c'est un carré.
On a f(x) = a*[(x+b/2a)² - ∆/4a²].
Donc f(x)=0 ssi (x+b/2a)² - ∆/4a²=0
ssi (x+b/2a)² = ∆/4a²
Eh bien c'est un peu pareil qu'avec x²=-3 :
À gauche, tu as un truc au carré.
Quel est le signe de ∆/4a² ? (sachant que ∆ est négatif)
Si seulement je voulais je voulais avoir votre certitude.
Donc sur ma copie je dis :
f(x) = 0
ssi (x+ b/2a)² est positif et ∆/4a² est négatif ?
Ta certitude devrait te suffire 
f(x) = 0
ssi (x+ b/2a)² est positif et ∆/4a² est négatif ?
Non !
f(x)=0 ssi (x+b/2a)² - ∆/4a²=0
ssi (x+b/2a)² = ∆/4a²
Jusque-là c'est bon ? on a juste réécrit l'équation différemment.
On veut montrer qu'elle n'a pas de solution (qu'il n'existe pas de réel x qui vérifie cette égalité).
Puisque ∆<0 et 4a²>0, on a ∆/4a²<0.
Or (x+b/2a)² est ≥0 pour tout x. Donc il n'existe aucun x tel que l'égalité soit vérifiée (un truc positif ne peut pas être égal à un truc strictement négatif) : ainsi, l'équation n'a pas de solution.
Oui je comprends. Merci.
De peur de vous déranger et je vais me débrouiller toute seule (même si je ne comprends pas)
Merci beaucoup.
OK, on s'y remet plus tard alors ! (c'est pas une heure pour faire des maths, d'abord )
N'hésite pas si tu as des problèmes pour la suite.
Bonne nuit à toi aussi !
Bonsoir, comment allez-vous ?
J'ai un petit peu avancer dans mon devoir maison mais j'aimerai savoir si c'est bon s'il vous plaît.
3. On suppose ici que Δ = 0
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution que l'on exprimera en fonction de x.
Réponse :
Soit Δ=0
f(x)=0
Soit a(x+b/2a)² - Δ/4a² = 0
Donc (x+b/2a)² = Δ/4a²
Finalement (x+b/2a)² = 0
x= -b/2a
S= (-b/2a)
Est ce bon ?
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution que l'on exprimera en fonction de x.
D'accord merci.
La 4ème question est :
On suppose enfin ici que Δ>0
Montrer que f(x) = a[(x+b/2a)²-(racine carré de Δ/2a)²]
En déduire l'équation f(x)=0 admet 2 solutions que l'on exprimera en fonction de a,b et Δ
Réponse :
Soit Δ>0
f(x) = a[(x+b/2a)²-Δ/4a²]
= a[(x+b/2a)²-(racine carré de Δ/2a)²]
Soit x+b-racine Δ/2a = 0
x = -b-racine Δ/2a
Soit x+b+racine Δ/2a = 0
x= -b-racine Δ/2a
S= {(-b-racine Δ/2a) ; (-b-racine Δ/2a)
Avec une étape supplémentaire, ça serait mieux :
= a[(x+b/2a)²-(√Δ/2a)²]
= a*(x+b/2a-√∆/2a)*(x+b/2a+√∆/2a) (factorisation avec l'identité remarquable A²-B²=(a-b)(a+b))
Puis :
- soit x+b/2a-√∆/2a=0 ie x=(-b+√∆)/2a
- soit x+b/2a+√∆/2a=0 ie x=(-b-√∆)/2a
S={(-b+√∆)/2a, (-b-√∆)/2a}
(Aux signes près, c'est presque ce que tu avais trouvé)
Coucou !
Oui je comprends merci. Non ce n'est pas la dernière question.
Il en reste encore 2.
Question 5 :
Résoudre les équations suivantes :
a. x² - 5x + 4 = 0
b. 2x² + 4x + 7 = 0
c. 4x² - 4x + 1 = 0
Pouvez-vous me montrer la démarche pour la 1ére s'il vous plait ?
Ce que tu viens de faire avant, c'est trouver les solutions de l'équation ax2+bx+c=0 pour n'importe quels coefficients a, b et c. Il s'agit d'appliquer les résultats trouvés.
a) x² - 5x + 4 = 0 est de la forme ax2+bx+c=0 pour a=1, b=-5, c=4
∆ = b2-4ac = (-5)2-4*1*4 = 25-16 = 9 est strictement positif, il y a donc deux solutions qui sont données par :
x1=(-b-√∆)/2a = (5-3)/2 = 1 et x2=(-b+√∆)/2a = (5+3)/2 = 4
S={1,4}.
b) et c) : à toi !
b. 2x² + 4x + 7 = 0 est de la forme de ax² + bx + c pour a=2 b=4 et c=7
∆= b² - 4ac = 4² - 4*2*7 = 16-56 = -40 est négatif, il n'y a donc pas de solution.
Est ce bon ?
c. 4x² - 4x + 1 = 0 est de la forme ax² + bx + c pour a=4 b=(-4)et c=1
∆=b²-4ac = (-4)² - 4*4*1 = 16 - 16 = 0 donc l'équation n'admet qu'une solution.
x = -b/2a
x = 4/8
S=(1/2)
Est ce bon ?
Merci beaucoup !
J'ai une petite question :
Puis :
- soit x+b/2a-√∆/2a=0 ie x=(-b+√∆)/2a
- soit x+b/2a+√∆/2a=0 ie x=(-b-√∆)/2a
Annuler
connectez vous