salut

ce qui suit le "montrons que ..."  et ne le serait pas en écrivant en français ...

ensuite il est inutile de développer et quasiment aucun calcul n'est nécessaire

si n = 3k alors il est évident que n(2n + 1)(7n + 1) est multiple de 3 d'après la propriété : si a divise b et si b divise c alors a divise c

Bonjour

En effet, tu as bien compris, mais la rédaction n'est pas au top.
Première remarque: une rédaction par équivalences successives est très dangereuse et peu convaincante. La tienne n'a pas de premier terme, et ta première ligne est confuse. n=3k? ne peut être équivalent à rien. Donc on rédige en écrivant : Supposons que... on déroule et on finit par: donc on a bien...(ce qu'on voulait.

Maintenant pour cet exo en particulier: tu n'as pas besoin de plusieurs lignes pour savoir que si 3 divise un facteur d'un produit, alors 3 divise le produit!

La meilleure méthode ici est de réduire modulo 3 dans chaque cas.
Tu as demandé des conseils de rédaction, alors je ne m'en suis pas privée!

Merci de votre réponse .
Pour le modulo 3 le problème est que le professeur nous a indiqués de le faire sans car tout le monde n'a pas vue l'arithmétique en terminal .  En classe en a vue que cette méthode .

On suppose  que  n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 3 en considéré 3 cas :  en effet k , n= 3k ; 3k+1 ; 3k+2 . Est ce que a la place de l'équivalence je peux mettre des =  .

Est ce que pour la suite c'est bon les 3 c'est oui ou pas ?

Je ne sais pas ce que tu veux faire. Alors, voici un plan (sans réduction modulo 3). Tu rappelles que tu sais que si 3 divise un facteur, alors 3 divise le produit. Ensuite:
1) Si n=3k, alors 3 divise le produit.
2) Si n=3k+1, alors... (tu trouves un facteur divisible par 3
3) Si n=3k+2, alors...

On suppose  que  n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 3 en considéré 3 cas :  en effet k , n= 3k ; 3k+1 ; 3k+2 .

De plus , je sais que  si 3 divise un facteur, alors 3 divise le produit .

Pour n=3k :

3k(2(3k+1)(7(3k+1))
= 3k(6k+1)(21k+1)
= 378k³+81k²+ 3k
= 3( 126k³+27k²+ k)  
( 126k³+27k²+ k) est un ; de plus 3 divise un facteur, alors 3 divise le produit de ce facteur .
Donc 3
Donc , k , n=3k
Merci de votre réponse .

On ne peut pas dire que tu as lu ma réponse attentivement! Je répète, si n=3k, il n'y a rien à écrire! Et je ne vois toujours pas que vient faire

D'accord je viens de comprendre Merci .

Donc pour n=3k j'écrie  seulement que  Si n=3k, alors 3 divise le produit.

Pour n= 3k+1 :

(3k+1)(2(2(3k+1)+1)(7(3k+1)+1)
= (3k+1)(6k+3)(21k+8)
= 378k³+459k²+ 183k+24
= 3( 126k³+153k²+ 61k+8)  
( 126k³+153k²+ 61k+8)    est un entier ; de plus 3 divise un facteur, alors 3 divise le produit de ce facteur .
Donc , k , n=3k+1

Cette fois, ça a un sens, mais ça reste trop compliqué!
Si n=3k+1, alors 2n+1=6k+2+1==3(2k+1), donc un facteur divisible par 3.
Vas-y pour le dernier cas.

Je passe juste pour faire remarquer, pour une prochaine fois, que



Quand tu développes cela, le 3n et le 6n produisent automatiquement des multiples de 3 et il ne reste alors qu'à étudier le terme restant,   qui est évidemment un multiple de 3 en tant que produit de 3 entiers consécutifs.

Si n=3k+2 , alors 7n+1=21k+15 == 3(7k+5) , donc c'est un facteur divisible par 3 .
De plus pour n=3k+1 on ne fait pas avec 7n+1  .

Est ce que ce que j'ai fait ces faux à 16 h 02 .

Non, à 16h02ce n'est pas faux, mais inutilement compliqué.
Là tu as repris l'astuce de Ulmiere que tu n'aurais jamais trouvé tout seul.
Tu ne veux vraiment pas trouver le facteur divisible par 3 quand n=3k+2?
Là je m'en vais, il y a du monde pour me remplacer.

Pour n= 3k+2 :

(3k+2)(2(3k+2)+1)(7(3k+2)+1)
= (3k+2)(6k+5)(21k+15)
= 378k³+837k²+ 615k+150
= 3( 126k³+279k²+ 205k+50)  
( 126k³+279k²+ 205k+50)  est un entier ; de plus 3 divise un facteur, alors 3 divise le produit de ce facteur .

Décidément...
Si n=3k+2, alors 7n+1=21n+15=3(7n+5) et ça suffit!

Merci de votre réponse .  

dommage que Ulmiere soit passé par là ...

j'allais d'abord proposé tout comme Camélia :

m = n (2n + 1)(7n + 1)

pour montrer que m est multiple de 3 il suffit de montrer que dans chaque cas :
n = 3k
n = 3k + 1
n = 3k + 2

au moins un des facteurs de m est multiple de 3

pour ensuite proposé un développement astucieux ...

Merci d'avoir passé par là .
Grâce a vous j'ai appris des propriétés . Merci  Beaucoup !

merci d'être ...

de rien