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distance

Posté par
mousse42 20-03-20 à 15:36

Bonjour,

J'ai peur de dire une bêtise, mais bon ce ne sera pas la première donc je me lance.

Je n'ai  vu aucun paragraphe dans mon cours portant sur la continuité des distances...

Pourtant c'est une application de E\times E\to \R_+

Supposons un espace métrique (E,||.||_{\infty})

avec E:=\mathcal{C}([0,1],\R) et

||f||_{\infty}=\sup\limits_{[0,1]}(f(t))

J'aimerais savoir si parler de la continuité de cette distance : (f,g)\in E^2\mapsto ||f-g||_{\infty}\in \R_+ a du sens (j'ai du mal à visualiser le truc)

Merci

Posté par
mokassinre : distance 20-03-20 à 15:41

Bonjour,
Oui bien sur que cela a un sens.
Si E est un espace métrique de distance d, alors pour la distance produit sur ExE, alors d est continue.

Posté par
mousse42re : distance 20-03-20 à 15:46

mokassin, pourquoi parles-tu de distance produit?

Posté par
mokassinre : distance 20-03-20 à 15:47

Et bien parce qu'il faut bien une distance sur ExE.

Posté par
mousse42re : distance 20-03-20 à 15:52

mais dans ce cas toutes les distances sont des distances produits, car par définition une distance est une application  E\times E \to  \R_+

Posté par
Camélia Correcteurre : distance 20-03-20 à 15:53

Bonjour

Une distance est toujours une application continue, à cause de l'inégalité triangulaire.
Dans un espace topologique quelconque, soit d:X\times X\to \R_^+ une distance.
Sur X\times X on met la topologie produit, définie par exemple par d'((x,x'),(y,y'))=sup(d(x,y)d(x',y')). Je te laisse démontrer que
|d(x,x')-d(y,y')|\leq d'(x,x'),(y,y'))

Posté par
Camélia Correcteurre : distance 20-03-20 à 15:53

Je suis en retard… Problème de connexion!

Posté par
mokassinre : distance 20-03-20 à 15:58

mousse42 @ 20-03-2020 à 15:52

mais dans ce cas toutes les distances sont des distances produits, car par définition une distance est une application  E\times E \to  \R_+

Ben.... non.
Une distance sur un espace X, c'est une application d:XxX->R.
Pour parler de la continuité sur un espace Y d'une application (réelle) on peut mettre une distance sur Y (on peut mettre moins que ca, mais restons dans le cas métrique).
Donc pour te prononcer sur la continuité de d:XxR->R, il "faut" (enfin il ne faut pas mais bon) muni XxX d'une distance, c'est à dire d'une application d':XxXxXxX->R.
Il y a une (famille de) distance (équivalentes et qui donnent le produit topologique en fait) qui convient pour faire ca: la distance produit.
On peut la définir par d'((x,y),(a,b))=N((d(x,a), d(y,b))) où N est la norme qu'il te plaira sur R^2.

Posté par
mousse42re : distance 20-03-20 à 15:59

Camélia non, tu n'es pas en retard, je vais regarder cela merci à vous deux!!

Posté par
mousse42re : distance 20-03-20 à 16:01

mokassin merci pour le complément d'information


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