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Distance
Bonjour
Je n'arrive pas à terminer cet exercice.
Soit un cercle de centre O et une droite (&) qui ne coupe pas ce cercle
M un point de ce cercle et (d) la perpendiculaire à (&) passant par M
Demontrer que lorsque la distance de M à (&) est minimale O, M et H sont alignés.
H étant le projeté orthogonal de M sur (&)
J'arrive à montrer que OM+MH est minimale si OMH sont alignés (c'est l'inégalité triangulaire)
Mais je ne suis pas sûr que ça reponde à la question.
On veut MH minimale, pas OM+MH.
J'ai considéré que OM est un rayon donc sa longueur est fixe...
Merci de votre aide
Bonjour,
c'est l'inégalité triangulaire
Si R est le rayon du cercle, OM + MH = R + MH.
Vouloir MH minimum revient à vouloir R + MH minimum.
Le point K, projeté orthogonal du point O sur la droite peut être utile.
Merci.
Je parlais de l'inégalité triangulaire dans OMH.
Vouloir MH minimum revient à R+MH minimum.
C'est ce que je voulais faire. Je voulais confirmation merci.
oui mais je ne vois pas comment le faire apparaitre dans la rédaction.
K et H sont sont confondus si M appartient à [OH]
OM+MH minimale si OM et H alignés
H (K)est à la fois le projeté orthogonal de O et de M
K est un point fixe : le projeté du point O sur la droite.
H est un point variable car il dépend du point M qui se "promène" sur le cercle.
Bonsoir, pour le "fun",
L e point A est le milieu de [MH].
Quand M parcourt le cercle, le point A parcourt.... la courbe verte.
Pour en revenir à la démonstration, j'ai mis en couleur le triangle où on utilise l'inégalité triangulaire.
Le point K étant le projeté orthogonal du point O sur la droite (&),
pour tout point H de la droite (&) on a OH 
OK.
Si les points O, M et H ne sont pas alignés alors OM + MH > OH.
D'où OM + MH > OK.
On en déduit facilement MH > LK.
Ce qui est important, c'est que l'inégalité triangulaire est stricte quand le triangle est un vrai triangle ; c'est à dire quand ses 3 sommets ne sont pas alignés.
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