Bonjour !
Si tu ne dis pas quelle norme (probablement euclidienne) tu utilises sur l'espace des matrices ou sur celui des suites de limite nulle, il sera difficile de te répondre.

La technique que tu donnes en dimension 3 peut se reproduire : chercher la distance de l'élément à son projeté orthogonal.
Ou si désigne un élément, un hyperplan, chercher le minimum de .

bonjour,
Tu poses 2 problèmes de natures et de complexités différentes
pour les matrices carrées de dimension n ; je suis d'accord avec luzak  , en connaissant la norme on peut copier sur les exemples élémentaires.
en revanche pour les suites (même de limite nulle) , tu te places dans un espace de dimension infinie
Il faut connaître la notion d'hyperplan dans un espace de dimension infinie ( Je doute que ce soit du programme de spé)

Pour les matrices c'est la norme associé au produit scalaire de Mn(R) :
Pour les suites on prend la norme infinie mais on utilise la norme subordonnée pour les démos
http://www.maths-france.fr/MathSpe/Problemes/E3A/2007/E3A_2007_MP_MathsA_Enonce.pdf

Tu nous prends vraiment pour des ???
Avoir un produit scalaire et poser une question de distance sans le dire c'est abusif.
Continue comme çà et tu n'auras plus aucune réponse de ma part.

bonjour,
L'espace vectoriel des matrices réelles est isomorphe à
as-tu une idée de la nature d'un hyperplan dans cet espace ?
Soit une matrice n'appartenant pas à cet hyperplan, comment avec ton produit salaire vas-tu définir la distance de cette matrice à l'hyperplan ?

Un hyperplan dans Mn(R) est une matrice d'ordre n-1 ...

Bah la distance vaut : où U appartient à H.

Je vois pas concrètement ça correspond à quoi la distance entre 2 matrices.

Ah la dimension est plutôt

bah si je sais calculer la distance de 2 éléments dans un espace euclidien  mais je vois toujours pas à quoi correspond une distance entre un hyperplan et une matrice concrètement. Une matrice n'est pas un vecteur alors pourquoi parler de distance ?

On t'a déjà dit et je le  répète :
la distance d'un élément (ici une matrice) à une partie (ici un hyperplan ) est  

ou aussi, dans un espace euclidien de produit scalaire , où est l'unique élément de vérifiant pour tout .

Je vois mais je voulais savoir à quoi ça sert de calculer la distance d'une matrice à un hyperplan

Bonjour
généralement, ce n'est pas tant calculer la distance d'une matrice à un hyperplan, qui est intéressant, que trouver un minimum : la distance entre la matrice et l'hyperplan est la plus petite distance entre la matrice et un élément quelconque de l'hyperplan
souvent, on a à la base un problème pour minimiser une certaine quantité. on observe que cette quantité qu'on cherche à minimiser peut être interprétée comme une distance euclidienne, ou un carré de distance, entre un objet fixe et un hyperplan d'un espace bien choisi, et là on se dit : bingo ! j'ai le th des projections à dispositions, je sais comment calculer ce minimum, et même où il sera atteint !

exemple : quelle est la plus petite valeur que peut prendre , a, b et c étant des réels quelconques ?

avec un peu d'habitude, si....
il faut penser à se placer dans un espace de fonctions définies sur l'intervalle où on intègre, considérer les fonctions C (carré), cos, sin et A (Attila, l'invasion des Huns .... t a pour image 1), définir le bon produit scalaire pour que l'intégrale à minimiser soit le carré de la distance entre C et l'espace vectoriel engendré par (cos, sin, A) ...

enfin plus précisément le carré de la distance entre C et un élément de l'espace vectoriel engendré par ...