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Distance à un hyperplan

Posté par
ardea 23-12-21 à 21:09

Bonjour,

E est un espace euclidien de dimension 2 et B = (e1,e2) une base orthonormée de E. F est la droite d'équation x + 2y = 0.
w = e1 - e2. Il faut déterminer la distance du vecteur w au sev F.

La correction propose deux méthodes. Je n'ai pas compris celle qui utilise la formule : d(x,F) = \frac{\left|\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}c_{i}} \right|}{\sqrt{c_{1}^2+...+c_{n}^2}}.

Il est dit que puisque une équation de F est x + 2y = 0, alors on a :

d(x,F) = \frac{\left| 1 - 2 \right|}{\sqrt{5}}

En fait, je ne sais pas comment appliquer cette formule concrètement. Si je pouvais avoir le détail du calcul pour en arriver jusqu'ici, ça m'aiderait beaucoup.

Merci de votre aide.

Posté par
Zrunre : Distance à un hyperplan 24-12-21 à 00:04

Bonsoir,

Dans ta formule, il faut bien que tu comprennes à quoi correspond les x_i et c_i .
A ton avis à quoi correspondent-ils ?

Posté par
ardeare : Distance à un hyperplan 24-12-21 à 02:06

Bonsoir Zrun,

Les x_{i} ça serait les coefficients du vecteur w dans la base orthonormée e_{i} ((1,-1) dans le cas présent).

Les c_{i}, les coefficients de vect(c) = F^{\perp} avec c = \sum_{i=1}^{n}{c_{i}}e_{i} dans la base orthonormée e_{i} ?

Posté par
Zrunre : Distance à un hyperplan 24-12-21 à 10:11

Bonjour,

Oui effectivement , c'est bien cela. Une fois cela acquis, ta formule s'écrit donc :

d(x, F) = \frac{|w\cdot c|}{||c||}

Posté par
ardeare : Distance à un hyperplan 24-12-21 à 17:14

Bonjour Zrun,

J'avais un doute sur les c_{i}, c'est bien plus clair maintenant.

Merci beaucoup pour ton aide


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