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Niveau Licence Maths 1e ann
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Distance (à un sous espace) atteinte ?

Posté par
Aalex00 28-02-20 à 20:02

Bonjour à vous,

Je considère un espace vectoriel normé E (de dimension quelconque). Après quelques recherches j'ai pu voir que : pour toute partie F\subseteq E et pour tout x\in E, il n'est pas toujours vrai de dire : \exists y \in \bar{F} tel que d(x,y)=d(x,F). Avec d la distance induite par la norme de E.

Mais est-ce vrai si F est un sous espace vectoriel de E ? Autrement dit la distance à F est-elle atteinte pour un élément de son adhérence si F est un sous espace vectoriel ?

Merci d'avance de votre aide.

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 28-02-20 à 21:44

Bonsoir Aalex00.
Pour pouvoir travailler dans ce cadre, il est très utile que les espaces normés soient complets, autrement dit, que ce soient des espaces de Banach.
Dans ce cas, il est vrai de dire : \exists y \in \bar{F} tel que d(x,y)=d(x,F). Avec d la distance induite par la norme de E.
Bien entendu, même dans ce cadre, l'unicité n'est jamais garantie. Sauf dans les espaces uniformément convexes (les Hilbert en particulier)

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 28-02-20 à 23:17

Bonsoir jsvdb,

Merci beaucoup de ta réponse !

Dans mon cas j'ai un espace vectoriel normé (de dimension possiblement infinie)  et je souhaite montrer que :
\begin{cases}F \subset E \textrm{ sous espace vectoriel strict} \\ x\in E\setminus F \textrm{ tq } d(x,F)>0\end{cases} \Rightarrow  \exists f \in E' \textrm{ (le dual) tq } \begin{cases}f(x)=d(x,F)\\  f_{|F}=0 \\ ||f||_{E'}=1\end{cases}

Pour cela j'utilise le théorème de Hahn-Banach sous sa forme analytique complexe. Dans le raisonnement j'introduis le sous espace vectoriel G=F+\mathbb{C} x de E et la forme linéaire
g:\begin{cases} G=F+\mathbb{C} x & \longrightarrow \mathbb{C} \\ y+tx & \longmapsto  t \cdot d(x,F)\end{cases}
Il me faut ensuite montrer que g est de norme 1. J'ai l'inégalité dans un sens et il me faut trouver une égalité pour un certain point de G pour conclure que g est de norme 1.

Mais il donc possible qu'il n'y ait pas de point (ou limite de points) de G réalisant l'égalité ? D'ailleurs G n'est pas forcément fermé en dimension infinie... (sauf si E Banach bien sûr)
Je cherche peut être un problème où il n'y en a pas...

Enfin, peut être qu'il me faut nécessairement une hypothèse de plus que E espace vectoriel normé, comme la complétude par exemple ?

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 09:33

Bonjour
Sans vouloir réfléchir  à ton problème mais en lisant ce que tu écris,  je fais la remarque suivante:
Tu  dis vouloir utiliser Hann-Banach alors ça veut dire qu'il faut que E soit complet. Donc où est ton problème?  

  

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 10:00

Bonjour XZ19,

Citation :
Sans vouloir réfléchir [...]
Tu  dis vouloir utiliser Hann-Banach alors ça veut dire qu'il faut que E soit complet. Donc où est ton problème?


Personnellement je parle du théorème de Hahn-Banach sous sa forme analytique complexe valable dans un premier temps sur de simples espaces vectoriels et à fortiori sur des espaces vectoriels normés.

Depuis quand il faut avoir un Banach, regarde ce lien .

Le nom d'un théorème ne porte pas toujours ses hypothèses...

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 11:08

Effectivement, ce que tu cherches à montrer est une conséquence du théorème de Hahn-Banach, pas besoin de sa forme complexe et pas besoin de complétude.

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 11:38

Ah, oui d'accord  mais alors  ton problème c'est de supposer que E  est normé non complet.  
Et bien avec cet exemple  ça peut peut être t'aider?
Soit
E = C^0([0,1],\R)    que tu munis d'une norme (au choix)  de sorte que E  n'est pas complet.   et  F=(f\in \E  ; \int _0^1  f(x) dx =0)       et   g\in E:  g(x)=1.  
Que dire de   d(g,F)?  

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 12:12

Je précise que la démonstration que j'en ai tient sur deux pages et demi d'un cahier A4...

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 13:15

Voilà le cheminement du Théorème de Hahn-Banach et de ses corollaires :

Théorème de Hahn-Banach (version analytique)

Soit X un \R-ev et p : X \rightarrow [0;+\infty \red ] une application sous-linéaire sur X :

p(x+y) \leq p(x) + p(y) et p(\lambda x) = \lambda p(x), \forall x,y\in X et pour tout \lambda \in \R_+.

Soit M un sev de X et m^*\in M^* (le dual algébrique de M; il n'y a pas de topologie dans ce cadre) tels que m^*(m) \leq p(m),~\forall m \in M

Alors il existe x^* \in X^* telle que x^* prolonge m^* et x^*(x) \leq p(x),~\forall x\in X

C'est le théorème classique de prolongement des formes linéaires. Sa démonstration repose sur le lemme de Zorn.

On a un premier corollaire évident :

Corollaire 1

Sous les mêmes hypothèses et notations que le théorème de Hahn-Banach, on suppose de plus que p est une semi-norme et que |m^*(m)| \leq p(x).
Alors on a l'existence du x^* qui prolonge m^* et vérifie |x^*(x)| \leq p(x),~\forall x\in X

Cela vient simplement du fait que x^*(-x) \leq p(-x), que x^*(-x) = -x^*(x) et que p(-x) = p(x)

Désormais X est un espace normé.

Corollaire 2

Soit M un sev de X, tel que M \neq \{0\}.
Soit m'\in M' une forme linéaire continue sur M, avec la norme induite.
Alors il existe une forme linéaire continue x'\in X', prolongeant m et de même norme (ie ||x'||_{X'}=||m'||_{M'})

Enfin, voilà le corollaire demandé par Aalex00

Corollaire 3

Soit M un sev de X.
Soit x \in X tel que d(x,M) > 0
Alors il existe une forme linéaire continue x'\in X' de norme 1, qui s'annule sur M et pas en x.
Autrement dit, x' \in X',~||x'||_{X'}=1,~x'(m) = 0,~\forall m \in M et x'(x) = d(x,M)

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 13:43

Il est clair ici que ni M ni à fortiori X ne sont complets.
M n'est même pas supposé fermé dans X.
Il ne s'agit donc pas d'un problème de minimisation au sens où l'on cherche un un point de M qui réaliserait un minimum pour la distance induite par la norme.
En revanche, le problème de minimisation est passé en dualité. C'est-à-dire que pour un x donné dans X et qui ne soit pas dans M, on peut trouver une forme linéaire continue qui prend la valeur d(x,M) = Inf d(x,m) pour mM au point x et qui s'annule sur M.
C'est un concept important à comprendre notamment quand on cherche des solutions faibles d'EDP : les problèmes sont passés en dualité.

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 13:54

La démonstration du corollaire 3 repose en deux étapes :

1ere étape :
comme M n'est pas supposé différent de {0}, on monte N = M \oplus \R x.
N est bien au moins de dimension 1.
On pose \delta = d(x,M) > 0
On construit n^* : N \rightarrow \R,~n^*(m+\lambda x) = \lambda \delta
On montre que n^* \in N' (on montre donc la linéarité et la continuité de n^*)
Puis, à l'aide d'une suite minimisante, on montre que ||n^*||_{N'}=1

2de étape :
Comme N\neq \{0\}, on applique le corollaire 2 et on conclut.

(NB : j'avais annoncé 2pages 1/2 de démo, ce qui est faux; en effet, la démonstration que j'ai se poursuit par une démonstration directe dans le cas des espaces de Hilbert, sans passer par Hahn-Banach)

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 15:18

Rebonjour
Je modifie mon exemple  car à mon sens c'est plus facile:  
Soit   E=C^0([0,1],\R)   muni de la norme  \|u\|=\|u\|_{\infty}+\|u\|_1
( \|u\|_1=\int_0^1 |f(x)| dx )   et  F  le sous espace des fonctions  nulle en x=0.  

Je garde  la fonction  g(x)=1..;

Calculer d(g,F)   et vérifier   si la distance est atteinte.

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 15:23

@XZ19,

J'ai regardé ton exercice et je dirais que d(g,F) = 1 (atteinte en f=0\in F) en choisissant la norme usuelle ||\cdot||_1 mais sans certitudes puisque je n'arrive pas à le montrer .. As-tu une indication à me confier ? Merci à toi.

@jsvdb,

Merci beaucoup pour tes réponses !
Le théorème tel que tu l'énonce est exactement la forme dont je parle (ce je j'appelle la forme analytique réelle). J'en ai récemment refais la démonstration pour bien le comprendre.
Ensuite le corollaire 1, c'est ce que j'appelle la forme analytique complexe (puisque valable sur un \mathbb{C}-espace vectoriel). J'ai également pris le temps de refaire la démonstration de ce résultat ainsi que celle du corollaire 2 (utilisant le corolaire 1).
Et c'est bien le corollaire 3 que j'essaie de montrer !

Dans la preuve ce qui me manque c'est le point suivant :

jsvdb

Puis, à l'aide d'une suite minimisante, on montre que ||n^*||_{N'}=1


D'après ce que tu énonces je comprends que j'étais mal parti en cherchant un point de M (ou \bar{M}) réalisant le minimun :
jsvdb

Il ne s'agit donc pas d'un problème de minimisation au sens où l'on cherche un un point de M qui réaliserait un minimum pour la distance induite par la norme.
En revanche, le problème de minimisation est passé en dualité. C'est-à-dire que pour un x donné dans X et qui ne soit pas dans M, on peut trouver une forme linéaire continue qui prend la valeur d(x,M) = Inf\,\, d(x,m) pour m\inM au point x et qui s'annule sur M.

En poursuivant avec tes notations, la forme linéaire continue évoquée est n^*.

Pour la suite minimisante je commence par poser A=\{||x-m||_X| m\in M\}=\{||x+m||_X| m\in M\}, ce qui permet d'écrire \delta = Inf\,\,A. Ensuite par caractérisation de l'Inf, j'obtiens que pour tout n\geq 0 il existe a_n=||x+m_n||_X\, \in A tel que \delta\leq a_n \leq \delta + 1/n ou encore tel que a_n - 1/n \leq \delta \leq a_n.
La suite (m_n)_{n\geq 0} est donc une suite de M qui réalise l'Inf. Mais alors je crois être un peu perdu puisque cette dernière phrase contredit mes propos ci-dessus ?
Aalex00

j'étais mal parti en cherchant un point de M (ou \bar{M}) réalisant le minimun


Cependant cette suite permet tout de même d'écrire
||m_n+x||_X-1/n = a_n-1/n \leq n^*(m_n+x)=\delta \leq a_n = ||m_n+x||_X
Ce qui montre si je ne m'abuse (suite à un passage à la limite) que ||n^*||_{N'} \geq 1.  Est-ce correct ? L'inégalité inverse s'obtient avec la définition de \delta.

Merci de votre aide

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 15:24

Ok XZ19, je ré-essaie avec la norme que tu as défini.

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 15:50

Démonstration de la continuité de n^* :

Soit n = m + \lambda x avec \lambda \neq 0.

|n^*(n)| = |\lambda|\delta \leq |\lambda|.||x-(-\frac{m}{\lambda})||=||\lambda x+m|| = ||n||_X=||n||_N

Avec \lambda = 0 : |n^*(n)|= 0 est c'est encore vrai.

Par suite \blue n^* est continue et \blue ||n^*||_{N'}= \sup_{n\in N,n\neq 0} \frac{|n^*(n)|}{||n||_N}\leq 1.

Par définition de \delta, il existe une suite (m_p)_p de points de M (la fameuse suite minimisante) telle que ||x-m_p||\rightarrow \delta.

---> L'obligation de prendre une suite minimisante souligne bien la fait qu'on ne peut pas toujours trouver systématiquement un élément de M qui réalise le minimum.

Il vient :

|n^*(x-m_p)|\leq ||n^*||.||x-m_p||_N

Or |n^*(x-m_p)| = |n^*(x)| = \delta car n^* s'annule sur M.

Donc \delta \leq ||n^*||.||x-m_p||_N

On passe à la limite : \delta \leq ||n^*||.\delta et donc \blue ||n^*|| \geq 1

Conclusion  \blue ||n^*|| = 1

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 16:23

E = C^0([0,1]),\R) muni de la norme N_1 n'est évidemment pas complet.
F = \{f\in E~/~f(0)=0\} en est bien un sev qui n'est pas fermé.
On considère g(x) = 1 l'élément de E identiquement égal à 1 sur [0,1].
On a d(g,F) = 0 mais la distance n'est pas atteinte à cause de cette obligation qu'ont les fonctions de F de valoir 0 en 0 et on sait qu'avec la norme N_1, la convergence en norme entraîne la convergence presque partout.

Il en va de façon différente pour :

E = C^0([0,1]),\R) muni de la norme N_\infty qui est complet cette fois.
F = \{f\in E~/~f(0)=0\} en est bien un sev qui est bien fermé car l'application f \mapsto f(0) est (linéaire) continue.
On considère g(x) = 1 l'élément de E identiquement égal à 1 sur [0,1].
On a cette fois d(g,F) = 1 et la distance est atteinte en toute fonction f de F telle que 0 \leq f \leq 2. Ce résultat ne peut être amélioré car toujours on a f(0) = 0 et |f(0)-g(0)| = 1.

Quid de E muni de la norme N(f) = N_1(f) + N_\infty(f) ? Constatons simplement N et N_\infty sont équivalentes.

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 17:07

@jsvdb  faut pas modifier mon exemple.  
En effet si on prend  N_1  seulement  \bar{F}=E   et dans   ce cas  la distance d(g,F) est évidemment  atteinte  dans   \bar{F}.
Ce que je ne veux pas.

Le cas N_\infty évidemment j'en veux pas.  

Et  puis pour moi N  et N_infty  ne  sont pas équivalentes.

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 17:10

N   et N_\infty  ne sont pas équivalentes.

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 17:56

Il est clair que N_\infty \leq N= N_\infty + N_1

Par ailleurs N_1(f) = \int_0^1 |f| \leq N_\infty(f)

Donc N_\infty + N_1 \leq 2N_\infty

Il suite N_\infty \leq N \leq 2N_\infty d'où l'équivalence de N et N_\infty

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 18:06

@jsvdb,

Ok merci beaucoup. Pour ton message 29-02-20 à 15:50 j'avais pareil pour la continuité et il me semble que la suite (m_p)_p est bien la suite (m_n)_{n\geq 0} que j'introduis dans mon message 29-02-20 à 15:23.
Ton explication est clair, merci bien !

Dans ton message 29-02-20 à 16:23, l'espace F n'est pas le même que celui introduit par XZ19 (F=\{f\in E|\int_0^1f(x)dx=0\}).
Mais il est intéressant de voir qu'en modifiant la norme cela change du tout au tout. Avec la norme N_\infty, la distance est même atteinte pour toute fonction f\in F telle que 0 \leq |f| \leq 2.
Dans l'équivalence de N et N_\infty puis-je comprendre que la norme N_\infty "l'emporte sur la norme N_1 ? Autrement dit si j'écris N=N_\infty + \sum_{k=0}^nN_{\phi(k)} avec \phi à valeur dans [|1, +\infty[|, j'aurais également l'équivalence avec N_\infty, ou est-ce que je me hâte trop vite ?

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 18:09

EDIT : je voulais écrire "l'emporte" sur les normes N_p

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 19:21

Bon @jvsbd  et @Alex00,  si j'ai dit que les normes ne sont pas équivalentes  c'est parce que je suis branché sur mon exemple.  Pour  moi l'équivalence  (parce qu'on est dans E),  ça ne joue aucun rôle dans le résultat .
Alors  je pense vraiment  qu'il faut faire attention, car sauf erreur de ma part,  le résultat n'est pas lié à l'équivalence des normes.
J'explique:  Soit  donc  N= N_\infty     +  N_1,   F est bien un fermé.  Mais pour le reste, il faut tout de même regarder ce que je propose:  

Soit    la suit  définie   par  f_n(x)= nx,\;\;  \forall x\in  [0,1/n]   et  f_n(x)=1 sinon .  C'est clair que f_n  est continue  et f_n(0)=0  donc f_n est  dans  F.    
  

d(f_n,1)= \|f_n-1\|_{\infty}+\int_0^1|f_n(x)-1| dx  =1+1/n       tend vers   1  donc  
d(1,F)\leq 1

Maintenant  soit  f   f\in F,\;   f-1   est   continue  donc  il existe  c>0  tel que  
|f(x)-1|\geq  1/2,  sur [0,c].  


On a donc  d(f,1)= \|f-1\|_{\infty}+\int_0^1|f_n(x)-1| dx \geq  1+1/2 c >1\geq  d(1,F)   ce qui montre que  d(1,F)  n'est pas atteint.  

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 29-02-20 à 21:08

J'aurais établi la même conclusion sur l'équivalence des normes (car elles sont bien équivalentes) et sans autre forme de procès. Cela n'aurait pas été correct : Le fait qu'une distance soit atteinte pour une norme n'implique  peut-être pas forcément qu'elle le soit pour une norme équivalente. Au temps pour moi.

Cela dit, j'intervenais surtout pour la démonstration du corollaire 3 du théorème de Hahn Banach Et je laisse donc les problèmes de distances atteintes ou pas de côté.

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 01-03-20 à 12:22

Bonjour à vous,

Merci à  vous pour votre aide !

XZ19,
Ok merci pour le détail de ton exemple
Dans la dernière expression je crois que tu voulais écrire f au lieu de f_n, et (1/2)c.

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 01-03-20 à 15:38

Oui  c'est une faute de frappe  c'est f  (et non pas f_n).Par contre c'est bien    1+1/2 c  (le  1   vient de la première norme et le  1/2 c vient de l'intégrale. )

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 01-03-20 à 16:27

Oui oui je voulais juste préciser le (1/2)c pour ne les parenthèses et ne pas confondre avec 1/(2c)..
Histoire que si quelqu'un lit ce forum il n'ait pas de doute, mais dans le contexte c'est clair en fait.

En tout cas merci bien !

Posté par
jarod128re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 03-03-20 à 19:49

Bonsoir,
quelqu'un pourrait me donner un exemple de E, F, x tel que d(x,F) ne soit pas atteinte même dans \bar{F}?
Merci

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 03-03-20 à 20:53

Bonsoir jarod128,

Tu trouveras la même question avec un exemple dans le lien suivant : .

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 00:52

@jarod  18 et @Alex00.  Je suis étonné tout de même!. Je réponds à la question initiale par mon  exemple ci dessus. Et mon exemple c'est exactement la question que tu poses @jarod.  

J'ai donné  E=C([0,1]) ,  F sev  fermé  de E,   la norme c'est \|  .\|_{\infty} + \| .  \|_1.      
En plus j'ai donné la démonstration.  
J'aurai pu croire que le sujet était clos, à moins qu'on cherche un autre exemple.  

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 09:02

Bonjour XZ19,

J'ai cherché un autre exemple en pensant que jarod128 avait déjà lu les messages précédents..

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 09:59

Bonjour
ça me rassure.  En effet je ne suis pas à l'abri d'une erreur. Surtout  que je n'avais pas trop réfléchi au problème en entier et ce qui m'avait un peu perturbé
c'est que la réponse est différente alors que les 2 normes sont équivalentes  (bien entendu parce que l'espace est restreint aux fonctions continues).  

En  particulier cet exemple contredit le premier message de  @jsvbd (28-02-20 à 21:44)
car il me semble bien que E est complet,  F fermé et pourtant la distance n'est pas atteinte.

Alors  je pense que ce résultat est vrai mais seulement si on est en dimension finie. Surement parce que les boules sont compactes.  

Bref  le sujet était intéressant .  

Posté par
jarod128re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 13:03

Bonjour XZ19,
je suis tout à fait d'accord avec ton exemple, je m'étais perdu dans les différentes questions abordées dans le topic et les différents F proposés.
Merci donc pour l'exemple.
Si je ne me trompe pas, l'astuce vient du fait de prendre une norme qui convient.
Je pose alors la question suivante:
Peux-t-on trouver un autre exemple mais cette fois ci avec F non fermé?

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 15:42

Bonjour
Là  pour moi c'est difficile.  En effet  pour un sev  F  qui ne soit pas fermé c'est facile d'en trouver mais ils sont denses.  Dans ce cas  la distance est évidemment atteinte dans  la fermeture.  
Alors  une nouvelle première  question serait:  peut-on trouver des  ses non fermés et non dense d'un evn.

Posté par
jarod128re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 16:00

Soit E l'espace vectoriel des suites réelles, bornées muni de la distance associée à la norme ||(u_n)||=Sup(|u_n|). On prend F l'ensemble des suites ayant un nombre fini de termes non nuls.  Mais après ça coince...

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 17:59

Si tu prends E=l_\mathbb{R}^\infty(\mathbb{N}) et F = \{\textrm{suites presque nulles}\}\subseteq E, tu as F dense dans E il me semble :
Soit y=(y(k))_{k\geq 0}\in E, on définit la suite (y_n)_{n\geq 0} d'éléments de F par :  y_n = (\mathbf{1}_{k\leq n} y(k))_{k\geq 0}
Cette suite de F tend vers y dans E.

Dans la recherche d'un tel exemple il est en particulier nécessaire que F ne soit pas ouvert non plus (sinon on aura également la densité).

Posté par
jarod128re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 18:20

Pour moi mon F n'est pas dense. Comment approche tu de la suite constante égale à 1?

Posté par
jarod128re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 18:35

*approches tu

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 18:37

Je prends y0=(0, 0, 0, ...), puis y1=(1, 0, 0, ...), puis y2=(1, 1, 0, ...), puis ... comme indiqué dans mon précédent post. Le \mathbf{1} représente l'indicatrice.

Posté par
jarod128re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 18:49

Pour tout n, |yn-x|=1 avec x ma suite constante =1

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 19:05

Tu as raison, j'ai pas assez réfléchi avant de poster ...

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 19:08

En fait toute suite qui ne tend pas vers 0 ne peut pas être approchée par une suite de F. On a plutôt \bar{F} = \{\textrm{suites qui tendent vers 0}\} si je ne me trompe pas.

Posté par
jarod128re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 04-03-20 à 19:13

F n'est donc ni fermé ni dense. Peut on trouver x dans E tel que d(x,F) ne soit pas atteinte même sur F bar?

Posté par
jsvdbre : Distance (à un sous espace) atteinte ? 05-03-20 à 14:51

XZ19 @ 04-03-2020 à 15:42

un sev  F  qui ne soit pas fermé c'est facile d'en trouver mais ils sont denses.

C'est avec les hyperplans que ce résultat est vrai car il n'y a pas vraiment de place.
Je me demande si toutefois, ce résultat n'est pas aussi vrai pour les SEV de codimension finie. A voir : on en avait déjà discuté ici Hyperplan fermé ou dense

Posté par
XZ19re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 05-03-20 à 17:12

Bonjour
@jvsbd  je ne vois pas  la réponse exacte du problème que tu soulèves.  Mais  considérons cet exemple  H=l^2(\N^* )

et F_1  le s-e-v  de  H   des suites  u\in H   qui vérifie  \sum_{n\geq 1}   n^2 u_n ^2 < \infty

F  est un s-e-v  de H, il est dense donc non fermé.  Mais  je ne  vois pas sa codimension, et

par ailleurs si on peut le définir comme un hyperplan ou  intersection d'hyperplan.  

Mais  on peut aussi  encore considérer  F_2 \subset  F_   des suites u telles que  

\sum_{n\geq 0}   n^4 u_n ^2 < \infty.

et ainsi de suite.  






    

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 06-03-20 à 21:56

Bonsoir,

J'ai essayé de réfléchir à ta question jarod128 :

jarod128

Peut on trouver x dans E tel que d(x,F) ne soit pas atteinte même sur \bar{F}?


Je me donne un élément x de E.
La suite x est donc bornée, ainsi les limites inférieure/supérieure de la suite sont bien définies. On note m et M ces deux limites.

Ensuite, par intuition, je dirais que d(x,F)=d(x,\bar{F})=\max\{|m|,|M|\}. Je note m_0 ce maximum.

Enfin je montre que cette limite est atteinte par un élément de \bar{F}. Soit donc \epsilon >0.
Il existe un rang N tel que pour n\geq N, m-\epsilon <x_n<M+\epsilon ou en tel que |x_n|<m_0+\epsilon.
Je défini donc la suite y=(x_n \, \mathbf{1}_{n<N})_{n\geq 0}, élément de \bar{F} et même de F. Et j'obtiens d(x,y)<m_0+\epsilon.


Bon et pour l'intuition sur la distance qui vaut m_0, je me dis que la distance dont on parle est en fait la norme induite sur l'espace vectoriel quotient E/\bar{F}. Enfin sur cet espace quotient, modulo les suites qui convergent vers 0, un représentant n'est autre que la limite de la suite (s'il elle existe sinon on introduit limsup et liminf...).

Ai-je une piste de réponse (non pas de tel x qui existe dans ce cas ci) selon vous ou est-ce faux ?

Posté par
jarod128re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 08-03-20 à 10:18

Aalex00 @ 06-03-2020 à 21:56



Je me donne un élément x de E.
La suite x est donc bornée.
???

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 08-03-20 à 10:49

Bonjour jarod128,

Oui pardon pour l'imprécision mais j'ai continué sur l'exemple donné :

jarod128

Soit E l'espace vectoriel des suites réelles, bornées muni de la distance associée à la norme ||(u_n)||=Sup(|u_n|).

Et avec F = \{\textrm{suites presque nulles}\}\subseteq E et \bar{F} = \{\textrm{suites qui tendent vers 0}\}.

Un élément de E est une suite bornée.

Posté par
jarod128re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 08-03-20 à 18:35

Aalex00 @ 06-03-2020 à 21:56

Bonsoir,


Ensuite, par intuition, je dirais que d(x,F)=d(x,\bar{F})=\max\{|m|,|M|\}. Je note m_0 ce maximum.

x=(1/n) on a alors d(x,F)=0 différent de M=1

Posté par
Aalex00re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 08-03-20 à 23:29

Non, pour la suite x=(1/n)_{n\geq 1}, on a M=m=0.
En fait on a même x\in \bar{F}.

M et m représentent respectivement la limite supérieure et la limite inférieure, pas le Sup et l'Inf.

Posté par
jarod128re : Distance (à un sous espace) atteinte ? 09-03-20 à 00:38

Ok Aalex00 pour ta démo. Ça m'a l'air bon mais ça ne donne pas de réponse au final, d'exemple où la distance n'est jamais atteinte même dans F bar

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