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Distance d'un point à ... un segment.

Posté par
lake
29-08-19 à 15:44

Bonjour,

La mode est aux exercices "ouverts" ou à "prise d'initiative".
Voici une amusette de niveau lycée (voire collège avec un logiciel de géométrie) qui m'avait bien plu. Rien de difficile mais elle oblige l'élève à réfléchir.

Définition: On appelle distance d'un point M à un segment [AB], la distance entre M et le point de [AB] le plus proche de M.
  
    On donne deux segments [OA] et [OB] perpendiculaires en O tels que OA=2 et OB=4.
   Trouver dans le plan (AOB) l'ensemble des points équidistants des deux segments [OA] et  [OB].


  Vous pouvez blanquer vos jolis dessins

Posté par
weierstrass
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 17:03

Bonjour,

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Posté par
sanantonio312
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 17:33

Bonjour,

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Posté par
lake
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 17:42

Bonjour,

   >>weirstrass,

    

 Cliquez pour afficher


   >>sanantonio312,

    
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Posté par
matheuxmatou
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:03

bonjour... et merci pour ce joli petit problème

alors je propose :

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très intéressant

bien sûr sauf erreur de ma part

Posté par
matheuxmatou
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:04

j'ai oublié de préciser :

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Posté par
vham
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:04

Bonjour,

O : (0;0)  A : (2;0) et B : (0;4) puis M1 : (2;2) et M2 : (5;4)

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Posté par
sanantonio312
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:05

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Je n'arrive pas à blanquer le dessin...

Posté par
vham
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:07

veuillez m'excuser, j'ai oublié de blanquer !

Posté par
sanantonio312
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:11

En lisant vham que je salue au passage, toutes mes inégalités auraient dû être larges

Posté par
lake
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:14

Bravo à tous!

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Posté par
sanantonio312
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:19

J'y ai aussi pris plaisir.
Pour ma culture, comment fait-on avec Géogébra pour changer la couleur d'une courbe sur un intervalle?
Je pense bien sûr à la partie entre C et D.

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Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:23

C'est réparé pour vham \;


Merci lake pour ce joli exercice \;
J'arrive un peu tard pour participer.

Posté par
vham
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:24

Au lycée on établirait facilement l'équation 4x-y²=4, mais saurait-on y reconnaitre un arc de parabole ? vraisemblablement pas en désignant A comme foyer et (OB) comme directrice ...

Posté par
sanantonio312
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:25

Bonjour Sylvieg
Si tu peux aussi blanquer mon image...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:30

Ouf, je ne l'ai pas supprimée !
Je débute ; ça m'entraine

Posté par
vham
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:34

couleur d'un arc de courbe : exemple ici : on écrit y=sqrt(4x-4),2<x<5

Posté par
sanantonio312
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:35

Merci vham

Posté par
lake
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:36

>>sanantonio

  Tu as rentré une fonction f

En ligne de commande, tu tapes Fonction[f,2,5] qui te créera une nouvelle courbe superposée à la précédente sur l'intervalle [2,5] choisi.
Tu caches la courbe f et tu donnes la couleur, épaisseur... que tu veux à la nouvelle courbe crée.

Posté par
lake
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 18:37

Mieux avec la méthode de Vham

Posté par
lake
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 21:14

Merci à toutes et à tous pour votre participation

Posté par
sanantonio312
re : Distance d'un point à ... un segment. 29-08-19 à 21:55

Merci à toi lake pour le problème ET les conseils.

Posté par
LittleFox
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 09:36


Quand j'ai lu ce problème j'ai d'abord pensé à la courbe rouge dans le dessin ci-dessous. La courbe rouge est l'ensemble des points à la même distance de l'union des segments OA et OB
Ça ressemble à une courbe de niveau.

Les parties vertes (3 points et un quart de cercle) forment l'ensemble des points à la même distance du segment OA et du segment OB. On peut voir cet ensemble comme l'intersection des courbes de niveau de chaque segment.

Et en faisant varier la distance on obtient la solution que vous avez donnée

Un petit lien vers l'animation :

Distance d\'un point à ... un segment.

Posté par
lake
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 09:48

Très joli!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 10:08

Oui, sympa
J'ai eu un peu de mal à comprendre, non pas par fâcherie avec Géogébra ( ), mais car je regardais toutes les parties vertes de la figure

Doit-on comprendre ceci :
"La courbe rouge réunie au quart de cercle vert est l'ensemble ..."
"Les parties vertes de la courbe de niveau (3 points et un quart de cercle) ..."

Posté par
LittleFox
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 10:20

Sylvieg oui, tes deux phrases sont justes

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 10:29

Bonjour,

le cas général de deux segments AB et CD quelconques (n'ayant pas une extrémité en commun) dépend des intersections des bissectrices et médiatrices avec les perpendiculaires aux segments en leurs extrémités ainsi que des zones délimitées par les bandes perpendiculaires aux segments

le nombre énorme de configurations différentes de ces points d'intersection interdit pratiquement une animation générale
dans le cas particulier suivant
Distance d\'un point à ... un segment.
l'ensemble est constitué

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Posté par
matheuxmatou
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 10:34

mathafou
très joli !
notre géomètre a bien bossé
mm

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 11:03

Oui, joli

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 11:14

j'ai fouillé dans mes archives de 2014 ...
j'ai juste refait la figure sous Geogebra au lieu de JavaSketchpad
quelques autres cas particuliers

 Cliquez pour afficher

Posté par
matheuxmatou
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 11:36

je propose un accessit pour mathafou

Posté par
LittleFox
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 15:48


J'ai fait une petite animation pour le cas général (ça crashe presque mon ordi ) :

Il n'y a "que" 36 intersections potentielles à vérifier et autant de lieux pourtant

Distance d\'un point à ... un segment.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance d'un point à ... un segment. 30-08-19 à 16:11

c'est vrai que c'est tellement lent qu'on perd facilement patience si on cherche à déplacer un point ....
mais bravo tout de même

Posté par
plumemeteore
re : Distance d'un point à ... un segment. 08-09-19 à 12:55

Bonjour.

On considère le plan orthonormé d'origine O, d'axe horizontal (OA) et d'unité OA/2.
Si la perpendiculaire d'un point à la droite contenant un segment ne coupe pas celui-ci, alors la distance entre le point et le segment est celle entre le point et l'extrémité du segment qui en est la plus proche.
Les côtés prolongés du rectangle BOAD partagent le plan en neuf régions.
régions nord-ouest, plein ouest plein sud, sud-est : aucun point
région centrale : la bissectrice de l'angle BOA contenue dans cette région
région sud-ouest : région entière,  y compris les deux axes
région nord-est : la médiatrice de [AB] contenue dans cette région

région pleiné nord : les points P tels que PB égale l'ordonnée de P
soient (x,y) les coordonnées de P ; 0 ≤ = x ≤ = 2 ; y > = 4
y² = PB² = (y-4)²+x² = y²-8y+16+x²
-8y+16+x²= 0 ; y = x²/8 + 2
2 ≤ y ≤ = 4/8 + 2 ; y ne peut être supérieur à 4 : il n'y a pas de point dans cette région

soit (x,y) les coordonnées de P ; 0 ≤ = y ≤ = 4 ; x > = 2
région plein est : les points P tels que PA égale l'abscisse de P
soient (x,y) les coordonnées de P ; 0 ≤ = y ≤ = 4 ; x > = 2
x² = PA² = (x-2)²+y² = x²-4x+4 + y²
y²-4x+4 = 0 ; x = y²/4 + 1
1 ≤ =  x ≤ 1+1 ; le P unique est en (2;2), à la limite de la région centrale

Récapitulation :
toute la région sud-ouest
la bissectrice de l'angle BOA contenue dans la région centrale, autrement dit la diagonale [OC] du carré BOAC
la médiatrice de [AB] pour la partie contenue dans la région nord-est.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance d'un point à ... un segment. 09-09-19 à 12:19

il y a deux façons de faire "de la géométrie"

- des calculs algébriques dans tous les sens dans un repère de préférence orthonormé
- l'utilisation de théorèmes et de propriétés connues des (anciens) grecs bien avant Descartes

chacun choisit ce qu'il lui plait



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