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Niveau terminale
distance d'un point à une droite (2) produit scalaire
Posté par valparaiso
Bonjour
(d) est la droite d'équation 2x-3y-3=0
A(5;-2)
je dois calculer la distance de A à (d)
j'essaie de reprendre la méthode expliquée par lafol sur un autre topic avec cet énoncé mais je m'aperçois que c'est pas encore très clair
je calcule un vecteur normal de (d) :
soit H le projeté orthogonal de A sur (d)
on a donc et
sont colinéaires
on a donc x-5=2.k
y+2=3.k
mais je ne vois pas comment poursuivre.
Pourriez vous m'aider?
merci
Pour que les deux vecteurs soient colinéaires, il faut (x - 5)(- 3k) = (y + 2)(2k).
k n'intervient pas et on aboutit à 3x + 2y - 11 = 0 . C'est l'équation de la droite (AH).
H est le point d'intersection des droites (d) et (AH).
bonjour et merci de m'aider.
mais je cherche une distance : AH
comment faire pour poursuivre dans cette idée?
ensuite je résous le système
3x + 2y - 11 = 0
2x-3y-3=0
ça me donne les coordonnées du point d'intersection
puis j'en déduis la distance AH?
mais donc cette méthode n'utilise pas le produit scalaire
On peut aussi déterminer la distance AH en calculant la valeur absolue du produit scalaire AH.n de deux manières différentes : en utilisant les coordonnées des vecteurs, puis en utilisant le théorème de la projection orthogonale.
J'essaie :
Avec les coordonnées :
Valeur absolue du produit scalaire AH.n=
2(x-5)-3(y+2)=
2x-3y-16
Avec la projection orthogonale ???
C'est juste, mais il faudrait que tu tiennes compte du fait que le point M appartient à la droite (d).
Seconde méthode : ledit théorème permet d'écrire AM.n = AH.n (égalité de deux produits scalaires), car AH est la projection de AM sur la direction du vecteur n .
On a donc |vecAH.n| = longueurAH*||n|| .
Restons sur la première méthode
Tu me demandais d'utiliser les coordonnées des vecteurs AH : (x-3;y+7)
et
On n'a pas parlé du point M!!
Je sais que M obéit à l'équation 2x+3y+1=0
d a pour équation 2x+3y+1=0
2x=-3y-1
-3y-1-3y-16=-6y-17?
Mais quel rapport avec l'équation d'une droite et un produit scalaire?
Non, l'équation de (d) est 2x - 3y - 3 = 0.
Tu vois que tu peux simplifier l'expression du produit scalaire AH.n !
ah désolé j'ai 2 ex du même type et j'ai mélangé les énoncés
donc 2x-3y=3
et
c'est ça?
mais je répète je comprends pas bien pourquoi on peut mettre l'équation d'1 droite dans un produit scalaire!
je corrige mon erreur de signe
mais je répète je ne comprends pas bien pourquoi on peut mettre l'équation d'1 droite dans un produit scalaire!
On utilise l'équation de la droite (d), car le point M(x; y) n'est pas un point quelconque, mais un point de la droite (d), de sorte que ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite.