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distance d'un point à une droite

Posté par
valparaiso 07-04-15 à 07:48

Bonjour
(d) a pour équation 2x+3y+1=0
A(3;-7)
je dois calculer la distance entre A et la droite
je sais qu'il s'agit de la distance AH, (AH) étant la perpendiculaire à (d) passant par H
C'est bien j'ai le niveau 4ème!
pouvez vous me dire si ma méthode convient :
J'ai calculé les coordonnées du vecteur directeur de (d) : \vec{u}(1;\frac{-2}{3})
\vec{u} . \vec{AH}=0 car les vecteurs sont orthogonaux
Ca me donne l'équation x-\frac{2}{3}y-\frac{23}{3}=0
est ce que si je résous en système cette équation avec celle de (d)2x+3y+1=0 j'obtiens les coordonnées du point d'intersection?
j'ai2x+3y+1=0erci de votre un gros doute.
m

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 08:05

je crois en fait qu'il faut que je passe par le vecteur normal de (d).
Ce vecteur a pour coordonnées (2;3)
de l'aide pour la suite...

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:09

le cours dit :
soit B un point de (d)
H le projeté orthogonal de A sur (d)
|\vec{BA}.\vec{n}|=HA.||\vec{n}||
est ce que je peux prendre n'importe quelle abscisse pour B?
Par exemple B(1;-1)?

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:09

Bonjour
les deux méthodes marchent

rédaction : tu as déterminé les coordonnées d'UN vecteur directeur de (d)
tu t'éviterais des tiers inutiles en multipliant tout par 3, soit dit en passant

en passant par un vecteur normal \vec{n} : tu cherches ||\vec{AH}||, où \vec{AH} = k\vec{n}, k étant déterminé pour que H\in(d)
donc par exemple H(3a+1; -1-2a) (en paramétrant (d) avec le vecteur 3\vec{u} que tu as déterminé dans ta première approche, histoire d'éviter de trimballer des fractions)
\vec{AH}:(3a+1-3; -1-2a+7) = (3a-2; 6-2a)=k(2;3) donc k = 14/13 et a = 18/13

||\vec{AH}||= |k|.||\vec{n}|| = \dfrac{14}{13}\sqrt{2^2+3^2} = \dfrac{14\sqrt{13}}{13}

tu retrouves le résultat bien connu (?) : si (d) : ax + by + c =0 et A(x_0;y_0), alors d(A, (d)) = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:13

pour ton dernier post, oui, puisque grâce à la relation de Chasles et au fait que \vec{BH} est orthogonal à \vec{n}, pour tout B de (d), on a \vec{BA}.\vec{n} = \vec{HA}.\vec{n}

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:18

Je poursuis :
\vec{BA}(2;-6) \\ \vec{n}(2;3)

HA=\frac{|\vec{BA}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}= \\ \\ \frac{2.2-6.3}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}=\frac{14}{\sqrt{13}}


please

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:27

tu as lu mes posts ? si oui, tu sais que tu as la bonne réponse ...

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:30

merci mais j'ai des questions
comment trouves tu H(3a+1;-1-2a)?

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:30

oui j'ai lu tes posts mais j'essaie de comprendre aussi ta méthode

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:32

remarque que \vec{BA} peut désigner n'importe quel vecteur directeur de (d), par exemple celui que tu donnais dans ton premier post, ou son triple

(et c'est ce qui permet de trouver la formule bien connue que je te donnais : B(x,y) avec ax+by+c=0, A(x_0,y_0), \vec{n}:(a,b) donnent \vec{BA}:(x_0-x,y_0-y) donc \vec{BA}.\vec{n} = ax_0-ax+by_0-by = ax_0+by_0+c ...)

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:33

j'ai utilisé un vecteur directeur (3;-2) de (d), et un point (1;-1) de (d) pour en donner une représentation paramétrique : x = 3a+1 et y = -2a-1

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:35

tu as vu ma question de 9.30?
c'est plutôt \vec{BH} qui est un vecteur directeur de (d) car A n'appartient pas à (d), non?

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:44

oui, BH, bien sûr

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:44

question de 9:30 : réponse à 9:33

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:52


j'ai utilisé un vecteur directeur (3;-2) de (d), et un point (1;-1) de (d): OK
pour en donner une représentation paramétrique : x = 3a+1 et y = -2a-1 : ça je ne comprends pas

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 09:57

tu dis que M(x,y) est sur (d) si et seulement si \vec{BM} = a\vec{u}, si B est le point (1;-1) et \vec{u} le vecteur (3;-2), et tu arrives à ça

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 10:06

car \vec{BM}et \vec{u}colinéaires c'est bien ça?

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 10:12

ah bon j'arrive à ça?...
pas encore!
\vec{BM}(x-1;y+1)=a(3;-2)
ensuite que fais tu?
Désolé je fais le boulet...

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 10:31

je dis que x-1 = 3a et y+1 = -2a, puis j'ajoute 1 des deux côtés du = dans la première, et -1 dans la deuxième ...

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 10:38

ah ok merci je vais reprendre tout ça

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 11:15

non je ne comprends pas ta méthode
B(d)
H est le projeté orthogonal de A sur (d)
je dois calculer la distance AH
B et M sont deux points de (d)
donc \vec{BM}et \vec{u}ne peuvent pas être colinéaires.
alors pourquoi écris tu \vec{BM}=a\vec{u}?

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 11:21

B et M sont sur (d) qui est dirigée par \vec{u}....

Posté par
valparaisore : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 18:10

Je suis complètement largué.
On avait appelé H le projeté orthogonal de A sur (d)
On a choisi un point de (d) d'abscisse 1 donc B a pour coordonnées (1;1)
Pourquoi un 3ème point M?
SVP j'aimerais vraiment comprendre

Posté par
lafol Moderateurre : distance d'un point à une droite 07-04-15 à 21:48

le point M, c'est juste pour t'expliquer en général comment obtenir des équations paramétriques de la droite(d)
on utilise ces coordonnées pour le point H, dans ton exercice


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