Une idée : raisonner non pas en termes de longueurs ou d'angles, mais en termes de volumes.

Merci de ta réponse, je crois que j'ai réussi, mais je n'en suis pas sûr, j'ai imaginé, pour faciliter les calculs que le point M était au centre du tétraèdre ABCD de façon à ce que les tétraèdres qu'il formait soient égaux.
Le volume d'un de ces tétraèdre est V=*B*h avec B l'aire de la base et h, la hauteur passant par M.
Le volume de ABCD, étant un tétraèdre régulier est V_ABCD=*2a³
J'ai fais 4*(*B*h)=*2a³
J'ai fais le calcul en simplifiant h, B pour arriver à 4x=(2/3) *a Avec x la hauteur d'un tétraèdre formé avec le point M et (2/3) *a la hauteur du tétraèdre ABCD.

J'espère vraiment que je ne suis pas trompé, et que c'est bien ça qu'il faut faire.

J'ai oublié de répondre à la question dans le coup...
Je suis de ce fait encore moins sûr de la justesse de ma réponse.
Si je dis que comme j'ai placé M au centre de ABCD, la hauteur de chaque tétraèdre formé par M est la distance la plus courte entre chaque face et M, puisque la hauteur est orthogonale à la face, donc la somme des distances de M à chacune des faces du tétraèdre et bien égale à la hauteur de ce tétraèdre, ça passe ?

"Le volume d'un de ces tétraèdres est V = 1/3 *B*h ". As-tu comparé ce volume à celui du tétraèdre donné, et à ce dernier le volume des quatre tétraèdres de sommet M ?

Je crois que je ne comprends pas ta question.
Le volume des quatres tétraèdres de sommet M est V=4*(1/3*B*h) puisque V=1/3*B*h est le volume de chacun des tétraèdre de sommet M.
Le volume du tétraèdre donné est V_ABCD=1/12*sqrt(2)*a³  (sqrt() = racine), il me semble que j'ai comparé les 4 volumes ajoutés des tétraèdres de sommet M à celui du tétraèdre donné lorsque j'écris 4*(*B*h) = *2a³
Je ne réponds peut-être pas à ta question...

P.S. Je te tutoies, mais peut-être que tu ne veux pas, si c'est le cas, alors j'en suis désolé ^^

Mais si tu écris le volume du tétraèdre donné en fonction de B et non de  a  . . . .

Désolé, je ne vois pas trop comment faire.

???
Comment s'écrit le volume d'un tétraèdre en fonction de l'aire de sa base B et de sa hauteur H ?

Ha, ok... V=1/3*B*h

Et en remplaçant B par (b*h)/2 et ce par h par a*sqrt(3)/2 et est la hauteur du tétraèdre.
On a
1/3
1/3

b=a on a donc 1/6

Si c'est pour le tétraèdre donné, on peut remplacer par sqrt(2/3)*a
1/6
1/6
1/6
1/6(a³sqrt(2))1/2
1/12a³sqrt(2)
Et je viens de retomber sur la formule du volume d'un tétraèdre régulier... Je sais pas si c'est ça que tu voulais que je fasse...

Le volume du tétraèdre donné est égal à 1/3 *B*H.
Le volume des quatres petits tétraèdres est égal à 4*(1/3 *B*h) = 1/3 *B*(4h).
Si tu compares ces deux expressions, que peux-tu en déduire ?

Hmmm que 4h = H ? Et donc que la somme des hauteurs des petits tétraèdre est égale à celle du tétraèdre donné.

N'est-ce pas ce qu'il fallait démontrer ?
Maintenant, considère le cas d'un point M quelconque à l'intérieur du tétraèdre.

J'en déduis donc aussi que je me suis compliqué la vie...
Alors, pour un point M quelconque, ça fait la somme des volumes des petits tétraèdre est égal à 1/3*B*h₁+1/3*B*h₂+1/3*B*h₃+1/3*B*h₄=1/3*B*(h₁+h₂+h₃+h₄)

Donc (h₁+h₂+h₃+h₄)=H

Et voilà !

Merci, merci beaucoup de ton aide et de ta patience !