Salut !! J'ai un exercice là où je bloque depuis, besoin d'aide svp :
Soit (E,d) un espace métrique. On note F l'ensemble des parties fermées et bornées de E. Pour A et B éléments de F, on pose
∆(A,B) = sup(sup_{x€A} d(x,B); sup_{y€B}d(y,A))
1) montrer que ∆(A,B) est une distance sur F
2) pour tout n€N^{*}, on note F_{n} l'ensemble des éléments de F qui contiennent au moins n éléments de E. Pour tout n€N^{*} montrer que F_{n}
Est un ouvert de F
3) on suppose E compact. Montrer qu'une suite de cauchy (Y_{n}) de (F,∆) telle que Y_{n+1}€Y_{n} pour tout n ,converge vers Y qui est l'intersection des F_{n}. En déduire que (F,∆) est complet.
4)si E est compact , montrer que F est compact ( on pourra montrer qu'il est precompact)
  
     Pour le 1) j'ai réussir à montrer que c'est une distance où le cas le plus difficile était l'inégalité triangulaire. Je suis parti du fait que d(x,C)≤d(x,y)+d(y,C)  .
2) ici voici ce que j'ai tenté
Soit n€N^{*} , soit X€F_{n} cherchons r>0 tel que      B(X,r) €F_{n}
Comme X€F_{n} c'est un fermé et borné de E ayant au moins n éléments.
X borné entraine que il existe x€E, r > 0 tel que X inclu dans B(x,r).
À partir de là je bloque, même pour les questions suivantes.
J'attends votre aide, merci.