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Pour que la distance AB soit entière, il faut soit que le segment soit horizontal ou vertical, soit qu'il soit oblique mais qu'il forme un fameux triangle rectangle 3 4 5 (il n'existe aucun autre triangle rectangle à côtés entiers assez petit)

Comptons combien de couples AB donnent un segment vertical ou horizontal
pour un point A donné, il existe 5 candidats pour B qui donnent un segment horizontal, et 5 candidats pour B qui donnent un segment horizontal. Cela fait 10 segments, multipliés par 6 pour les 6 choix possibles de A, soit 60 couples (A,B)
On va diviser par deux pour garder l'aspect non-ordonné, car en l'état je n'ai pas pris ce soin. Donc 30 couples (A,B) pour un segment horizontal ou vertical.

Comptons maintenant les couples AB donnant une diagonale d'un triangle 3 4 5.
Constatons qu'il existe 4 pentes possible pour le segment : 3/4, 4/3, -3/4 et -4/3. Mais par rotation, et sans perte de généralités, on va considérer seulement la pente 3/4 et multiplier le résultat par 4.
Pour un point A(x,y) donné, le point B correspondant au triangle 3 4 5 dont l'hypoténuse a une pente de 3/4 a pour coordonnées (x+4,y+3). Un tel point existe si et seulement si x<=2 et y<=3, on a donc 12 candidats pour les couples AB :   et  
Multiplions cela par 4, pour trouver au total 48 couples (AB) pour les triangles rectangles

Au total, si je n'ai pas fait d'erreurs de raisonnement, on trouve 30+48 = 78 couples AB non ordonnées produisant une distance entière

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Comptons d'abord les paires de points donnant un segment horizontal ou vertical
pour un point A donné, il y a 10 points B donnant un segment vertical ou horizontal, mais il y a 36 choix pour le point A, donnant 360 possibilités, et 180 après la division par deux pour le caractère non ordonné.

Quant aux couples de points donnant un triangle 3, 4, 5, et ayant une pente de 3/4, il y 'en a seulement 6, car il faut avoir x<=1 et y<=2... soit 24 au total

Pour un total de 180+24 = 204 couples éligibles

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import math
import numpy as np
from itertools import product, combinations

space = np.array(np.meshgrid(range(6), range(6))).reshape(2, 36).T
count = 0
for A, B in combinations(space, r=2):
    distance = np.linalg.norm(A-B)
    if distance.is_integer(): 
        count += 1
print(count)

On trouve bien 204