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Distance entre deux droites dans l'espace

Posté par
M_yst
17-04-10 à 03:23

Bonjour!
Voilà je me posais une question on vient de terminer le cours de géométrie dans l'espace mais je ne sais pas comment déterminer la distance entre deux droites. On a vu comment déterminer la distance entre un point et un plan donné par un point et un vecteur normal, un point et un plan donné par un point et deux vecteurs directeurs, un point et un plan donné par une équation cartésienne, et un point et une droite donnée par un point et un vecteur directeur. Et pendant la semaine de vacance je voulais m'entrainer sur des exercices mais je bloque sur l'un d'entre eux ou il faut déterminer la distance entre deux droites...

Voici un exemple:
On a (D) et (D') qui sont données par les systèmes d'équations cartésiennes ci dessous:
\{{x=2y+1\atop z=y-1}   et  \{{2x+y-z=3\atop x-y-2z=0}

Comment peut-on déterminer la distance de (D) à (D')?

J'ai essayé d'utiliser les systèmes d'équations réduites mais je n'arrive à rien

Merci d'avance!

Posté par
LeHibou
re : Distance entre deux droites dans l'espace 17-04-10 à 08:35

Bonjour,

Ce n'est pas très commode les droites sont exprimées comme des intersections de plans. C'est beaucoup plus commode lorsque les droites sont exprimées sous forme paramétrique, avec un point P et un vecteur :
(D) = {P + tV, t }
(D') = {P' + t'V', t' }
Tu peux alors chercher à minimiser la distance entre deux points courants M et M', ou plutôt le carré de la distance :
d²(M,M') = d²(P + tV, P' + tV')
C'est une forme quadratique en t et t' dont tu trouveras le minimum par les méthodes usuelles.

Posté par
LeHibou
re : Distance entre deux droites dans l'espace 17-04-10 à 09:20

Autre méthode : la droite reliant les points de distance minimum entre (D) et (D') est perpendiculaire à (D) et à (D'). En reprenant les notations ci-dessus, tu peux écrire que le vecteur MM' est perpendiculaire à V et à V', donc que les produits scalaires MM'.V et MM'.V' sont nuls. Cela te donne 2 équations du premier degré en t et t', donc un système linéaire à résoudre. C'est d'ailleurs peut-être bien le même que tu aurais trouvé en annulant les dérivées partielles de la forme quadratique de mon post de 08:35...

Posté par
jandri Correcteur
re : Distance entre deux droites dans l'espace 17-04-10 à 09:53

Bonjour,

Pour compléter les réponses de LeHibou:

Si la droite D (resp D')est définie par un point A et un vecteur \vec{u} (resp B et \vec{v}) alors le vecteur \vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v} est orthogonal à \vec{u} et \vec{v}; la distance de D à D' est alors:
4$\frac{|\vec{w}.\vec{AB}|}{||\vec{w}||}.

Posté par
LeHibou
re : Distance entre deux droites dans l'espace 17-04-10 à 10:33

Merci jandri, j'avais oublié cette élégante formule...

Posté par
M_yst
re : Distance entre deux droites dans l'espace 18-04-10 à 00:33

Merci beaucoup!
Et dans le cas de l'exemple que j'essaye de résoudre dans mon premier post quelle méthode est -il préférable d'employer?
En faisant une figure et des calculs je tombe sur une formule du type d=\frac{|Det(\vec{AA'},\vec{v},\vec{v'}|}{||\vec{v}(vectorielle)\vec{v'}||} avec (D)=(A,\vec{v}) et (D')=(A',\vec{v'}) des droites non coplanaires mais je n'arrive pas non plus l'utiliser dans mon exemple.

Posté par
LeHibou
re : Distance entre deux droites dans l'espace 18-04-10 à 01:06

La première chose à faire est de paramétrer tes deux droites, par exemple en posant z = t, et en déduisant x et y en fonction de t.

Posté par
M_yst
re : Distance entre deux droites dans l'espace 18-04-10 à 11:38

Je trouve d=4/10.
Est ce juste?
En tout cas merci pour ces réponses!

Posté par
LeHibou
re : Distance entre deux droites dans l'espace 18-04-10 à 11:49

Peux-tu détailler ton calcul stp ?
Ca nous éviterait de le refaire

Merci d'avance,
LeHibou

Posté par
frenicle
re : Distance entre deux droites dans l'espace 18-04-10 à 13:06

Bonjour,

Les points H(13/7 ; 3/7 ; -4/7) et H'(9/7 ; 5/7 ; 2/7) sont les intersections de D et D' avec leur perpendiculaire commune.
Leur distance vaut 2(2/7). C'est la plus courte distance entre D et D'.

Posté par
LeHibou
re : Distance entre deux droites dans l'espace 18-04-10 à 13:25

Merci frenicle, toujours fin géomètre !

Pour notre culture, quelle méthode as-tu utilisée ?

Bonne journée,
LeHibou

Posté par
frenicle
re : Distance entre deux droites dans l'espace 18-04-10 à 17:51

Bonsoir,

J'ai utilisé la méthode de Jandri.
D a pour repère A(1, 0, 1) et v(2, 1, 1)
D' a pour repère A'(1, 1, 0) et v'(1, -1, 1)  
(on obtient v' en faisant le produit vectoriel des vecteurs normaux aux plans qui définissent D', (2, 1, -1) et (1, -1, -2) qu'on lit sur les équations de ces plans).
Le vecteur orthogonal aux deux droites est v v' = w(2, -1, -3)

La plus courte distance s'obtient en appliquant la formule de Jandri.

Pour obtenir H et H', on peut écrire H = (1 + 2t, t, 1 + t) et H' = (1 + t', 1 - t', t') et chercher t et t' tels que HH'w = 0.

Posté par
LeHibou
re : Distance entre deux droites dans l'espace 18-04-10 à 23:39

Merci beaucoup, c'est très instructif !

Posté par
JoelRandria
re : Distance entre deux droites dans l'espace 06-12-13 à 11:02

Bonjour à tous,

Et tout d'abord merci de ce partage de connaissance très enrichissant !

LeHibou, tu évoques, dans les tous premiers posts, une méthode consistant à minimaliser le carré de la distance entre les deux droites via leurs formes paramétriques respectives.

Est-il possible d'avoir un exemple de cette méthodologie qui me semble intéressante ?

Merci beaucoup.

Posté par
LeHibou
re : Distance entre deux droites dans l'espace 06-12-13 à 19:28

Je vais essayer
Ave des notations que tu comprendras sans peine :
D1 : M(s) = M1 + sV1
D2 : N(t) = M2 + tV2
d²(M(s), N(t))= |M2 + tV2 - (M1 + sV1)|²
d²(M(s), N(t)) est une forme quadratique en s et t. Tu écris que :
d²(M(s), N(t))/s = 0
d²(M(s), N(t))/t = 0
Ça te donne un système en s et t et qui doit avoir une solution unique (s0 , t0), sauf si V1 et V2 sont colinéaires, auquel cas le système a une infinité de paires de solutions.
La distance minimale est alors d(M(s0) , N(t0))
A essayer...

Posté par
JoelRandria
re : Distance entre deux droites dans l'espace 06-12-13 à 19:30

Un grand merci à toi pour cette explication de qualité !

Posté par
gloutonfou
re : Distance entre deux droites dans l'espace 23-05-16 à 10:13

Bonjour,
Je suis très en retard mais j'ai eu du mal à comprendre cet exercice et, si mon explication peut aider quelqu'un.. En fait ma façon de faire est toute simple. Je prend un vecteur directeur (d1 et d2) de chacune des droites et un point quelconque (p1 et p2) sur chacune des droites. Ensuite, je crée un vecteur quelconque (p1p2) à partir des points sur chaque droite. Je fais le produit vectorielle entre d1 et d2 ce qui me donne un vecteur perpendiculaire a d1 et a d2 (aux deux droite aussi). Il ne reste qu'à faire la projection orthogonale de p1p2 sur (d1 x d2). Cela me donne le vecteur entre la droite 1 et la droite 2. Il ne reste qu'à calculer la norme du vecteur pour connaître la distance. Projection orthogonale: ((p1p2.(d1 x d2))/((d1 x d2).(d1 x d2))).(d1 x d2) Puis, la norme et c'est tout.

Posté par
yoyovento
re : Distance entre deux droites dans l'espace 08-06-20 à 14:59

Salut les gars, vous êtes sûr des calculs ? J'a essayé dans mon cas à moi et je n'ai pas trouvé la bonne solution. Je me suis donc dit que j'allais dessiner en 3D cette situation :

D a pour repère A(1, 0, 1) et v(2, 1, 1)
D' a pour repère A'(1, 1, 0) et v'(1, -1, 1)  


ce qui me donne une distance de 0.5345 donc pas 2*racine(2/7).

Distance entre deux droites dans l\'espace

Distance entre deux droites dans l\'espace

Distance entre deux droites dans l\'espace

Posté par
Priam
re : Distance entre deux droites dans l'espace 08-06-20 à 15:58

Bonjour,
Par la méthode présentée par le Hibou le 17-4-10 à 9h20, j'ai trouvé que la distance entre les deux droites était égale à  14 /7 0,5345 .

Posté par
alb12
re : Distance entre deux droites dans l'espace 08-06-20 à 17:12

salut,

Posté par
alb12
re : Distance entre deux droites dans l'espace 08-06-20 à 21:54

@yoyovento
ton point A est faux

Posté par
yoyovento
re : Distance entre deux droites dans l'espace 09-06-20 à 08:14

Yes Priam c'est effectivement
racine(14 )/7

J'ai pourtant vérifié plusieurs fois alb12, es tu sûr ?

Posté par Profil amethystere : Distance entre deux droites dans l'espace 09-06-20 à 08:15

Salut

Je n'arrive pas à lire les deux systèmes d'équation mais bon on s'en fiche

il n'est pas compliqué de trouver deux points distincts de chacune de ces deux droites

pour autant qu'on puise lire les deux systèmes

une formule simple et qui fonctionne dans \mathbb {R}^n,n\geq 2

le produit scalaire euclidien \langle x|y\rangle =\displaystyle \sum _{i=1}^n x_i.y_i

Soient \Delta _V=\left(AB\right) et \Delta _W=\left(CD\right) deux droites de \mathbb {R}^n,n\geq 2 donc

V=B-A un vecteur directeur de  \Delta _V

W=D-C un vecteur directeur de  \Delta _W

on pose

x=\langle W|A-C\rangle \langle W|V\rangle -\langle V|A-C\rangle \langle W|W\rangle

y=\langle V|C-A\rangle \langle V|W\rangle -\langle W|C-A\rangle \langle V|V\rangle

z=\langle V|V\rangle \langle W|W\rangle -\langle V|W\rangle ^2

-lorsque z=0 alors les deux droites sont parallèles et en posant

T=C-A-\dfrac {\langle V|C-A\rangle }{\langle V|V\rangle }.V

alors ||T|| est la distance entre ces deux droites parallèles

-lorsque z\neq 0 alors les deux droites ne sont pas parallèles et en posant

P = A + \dfrac {x}{z} V et Q = C + \dfrac {y}{z} W

alors ||\overrightarrow {PQ}|| est la distance entre ces deux droites non parallèles



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