il n'y a rien à rédiger; à partir du moment où les deux topologies sont identiques, alors une suite est convergente pour d si et seulement si elle l'est pour d'.

Ok ...

Soit une suite convergente pour d et L sa limite. Montrons qu'elle l'est pour d'.
Soit O' un ouvert pour d'.
Alors O' est aussi un ouvert pour d.
Il existe alors un rang au-delà duquel toute la suite se trouve dans O'.
Comme O' était arbitraire, la suite est convergente pour d'.

* Soit O' un ouvert pour d' et contenant L.

* Comme O' était arbitraire, la suite est convergente pour d' et sa limite est L

On peut refaire la démonstration avec les voisinages :

Soit x une suite convergente pour d et L sa limite. Montrons qu'elle l'est pour d'.
Soit V' un voisinage de L pour d'.
Alors V' est aussi un voisinage de L pour d.
Il existe alors un rang au-delà duquel toute la suite se trouve dans V'.
Comme V' était arbitraire, la suite est convergente pour d'.