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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Distance et complétude

Posté par
Vantin
14-09-22 à 18:38

Bonjour à tous, j'aurais besoin d'aide sur cet exercice :

Exercice:
Soit (X,d) un espace métrique.On définit l'application  \overline{d} comme suit:
\begin{array}{ccccc}
 \\ \overline{d} & : & X\times X & \to & \R \\
 \\  & & (x,y) & \mapsto & \overline{d}(x,y) =  1 \mbox{ (si } d(x,y) \ge1), d(x,y) \mbox{ sinon } 
 \\ \end{array}

1) Montrer que \overline{d} est une distance
2)  Montrer qu'une suite \{x_k\}_{k\in \N} converge dans (X, d) si et seulement si elle converge dans (X, \overline{d}).
3)  Montrer que si (X, d) est complet alors  (X, \overline{d}) is complete
Voici ce que j'ai fais:
1)
Pour montrer que  \overline{d} est une distance, il faut montrer qu'elle respecte 3 conditions: positivité, symétrie et inégalité triangulaire:
Positivité:
-Si d(x,y)<1, \overline{d}(x,y)= d(x,y) \ge 0 car d est une distance
-Si  d(x,y)\ge 1, \overline{d}(x,y)= 1 \ge 0
Donc \forall x,y \in X,  \overline{d}(x,y) \ge 0
De plus, \overline{d}(x,y) = 0 \Leftrightarrow d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y car d est une distance
Finalement on a montré que :

\forall x,y \in X, \overline{d}(x,y) \ge 0 \wedge ( \overline{d}(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y)

Symétrie:
Si d(x,y) <1, \overline{d}(x,y) = d(x,y) or si d(y,x) <1, \overline{d}(y,x) = d(y,x).
Donc \overline{d}(x,y))=d(x,y)=d(y,x)=\overline{d}(y,x) (car d est une distance)
Si  d(x,y) \ge 1,   \overline{d}(x,y)=1 or si d(y,x) \ge 1,   \overline{d}(y,x)=1
Par propriété de symétrie de la distance d, d(x,y) \ge 1 \Leftrightarrow d(y,x) \ge 1
Donc \overline{d}(x,y)=1=\overline{d}(y,x)

Finalement, on a montré que \forall x,y \in X, \overline{d}(x,y)=\overline{d}(y,x)

Pour cette partie je suis pas sur de moi,
Inégalité triangulaire:
On veut montrer que \forall x,y,z \in X, \overline{d}(x,z)\leq \overline{d}(x,y)+\overline{d}(y,z)
Procédons par disjonction de cas:
Cas 1: \overline{d}(x,y)+\overline{d}(y,z) <1 \Rightarrow \overline{d}(x,y) <1 \wedge \overline{d}(y,z)<1
En appliquant la définition de \overline{d} et en utilisant que d est une distance, on a  d(x,z)\leq d(x,y) + d(y,z) <1
D'où  \overline{d}(x,z)\leq \overline{d}(x,y)+\overline{d}(y,z)
Cas 2:  \overline{d}(x,y)+\overline{d}(y,z) \ge 1 (1)
Par définition, \overline{d}(x,y) \leq 1 (2)
En réunissant (1) et (2), on a donc  \overline{d}(x,z)\leq \overline{d}(x,y)+\overline{d}(y,z)

2)
Sens direct:
On suppose que \{x_k\}_{k\in \N} converge dans l'espace métrique (X,d) donc on fixe  \epsilon >0, il existe un rang N strictement positif tel que \forall n > N, d(x_n,x)<\epsilon
En regardant la construction de \overline{d}, on remarque que \forall x,y \in X, \overline{d}(x,y) \leq d(x,y) ce qui me permet de dire que \overline{d}(x_n,x) < \epsilon
Autrement dit \{x_k\}_{k\in \N} converge vers x dans (X,\overline{d})
Sens indirect:
On suppose que \{x_k\}_{k\in \N} converge vers x dans (X,\overline{d}) autrement dit  \overline{d}(x_n,x) < \epsilon et on prend \epsilon <1.
Si \epsilon <1 alors à partir de ce rang n, on peut écrire  \overline{d}(x_n,x)=d(x_n,x)
D'où d(x_n,x) < \epsilon
Autrement dit \{x_k\}_{k\in \N} converge vers x dans (X,d)

3)
Sens direct:
On suppose que (X,d) est complet donc n'importe quelle suite de cauchy converge dans (X,d). D'après la question précédante elle va aussi converger dans (X,d).
Sens indirect:
On suppose que  (X,\overline{d}) est complet.
C'est ici que je bloque je vois pas trop l'arguement

Posté par
carpediem
re : Distance et complétude 14-09-22 à 19:30

salut

je note d* pour \bar d

pour la symétrie il me semble que tu te compliques les choses :

d est une distance donc d est symétrique donc :

d* (x, y) = inf { 1, d(x, y) } = inf { 1 , d(y, x)} = d*(y, x)

pour l'inégalité triangulaire idem (je ne sais pas ci ce que tu as fais est exact mais ce qui suit le "par définition dans le cas 2 me semble suspect)

je ferai aussi une disjonction de cas ... mais sur d*(x, y) :

1/ d*(x, z) 1 : d*(x, z) = d(x, z) puis trois cas

2/ d*(x, z) 1 : d*(x, z) = 1 puis trois cas


3/ il me semble que 3/ est une conséquence directe de 2/ sans même avoir besoin de parler de suite de Cauchy ...

ou alors il suffit de montrer que si (x_n) est une suite de Cauchy dans (X, d*) alors c'est une suite de Cauchy dans (X, d)

et il n'y a qu'une implication à démontrer

Posté par
Vantin
re : Distance et complétude 14-09-22 à 20:16

Bonjour carpediem !
Que signifit la notation inf{ }
Ce que j'entends par le définition c'est que soit d*(x,y) = d(x,y) <1 soit
d*(x,y)=1 donc dans tous les cas d*(x,y) <=1 .  
D'où d*(x,z) <=1 <d(x,y)+d(y,z)
Est ce que cela semble toujours suspect présenter comme ceci?
3) Oui c'est ce que j'ai fais, merci je ne sais pas pourquoi je me suis persuadé qu'il y avait les deux sens à faire !

Posté par
Vantin
re : Distance et complétude 14-09-22 à 20:22

Ok je viens de voir que ta notation signifie borne inférieur, mais cette définition de distance et celle de l'énoncé ne sont t-elles pas différentes?

Posté par
carpediem
re : Distance et complétude 14-09-22 à 20:42

en fait j'aurai pu écrire aussi :

d* (x, y) = min { 1, d(x, y)} puisque l'inf d'un ensemble fini est son minimum

Posté par
Ulmiere
re : Distance et complétude 14-09-22 à 21:16

Pour l'inégalité triangulaire, on peut faire sans distinction de cas, par l'absurde. Je note d' = \bar{d} pour ma part.

Supposons trouvés x,y,z tels que d'(x,z) > d'(x,y) + d'(y,z).

Comme d' est majorée par 1, on a d'(x,y) + d'(y,z) < 1 et donc d'(x,y) = d(x,y) < 1 et d'(y,z) = d(y,z) < 1.

Mais alors, d(x,z) \leqslant d(x,y) + d(y,z) < d'(x,z) \leqslant d(x,z) donc d(x,z) < d(x,z). Absurde

Posté par
carpediem
re : Distance et complétude 14-09-22 à 21:49

ha oui ; efficace !!

Posté par
Vantin
re : Distance et complétude 15-09-22 à 01:40

Je vois ! En ce qui concernant mon approche pour l'inégalité triangulaire , est ce le raisonnement est juste ?

Posté par
Ulmiere
re : Distance et complétude 15-09-22 à 12:11

C'est correct si dans (2) tu remplaces \bar{d}(x,y)\leqslant 1 par \bar{d}(x,z)\leqslant 1



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