Bonjour à tous, j'aurais besoin d'aide sur cet exercice :
Exercice:
Soit (X,d) un espace métrique.On définit l'application comme suit:
1) Montrer que est une distance
2) Montrer qu'une suite converge dans (X, d) si et seulement si elle converge dans .
3) Montrer que si (X, d) est complet alors is complete
Voici ce que j'ai fais:
1)
Pour montrer que est une distance, il faut montrer qu'elle respecte 3 conditions: positivité, symétrie et inégalité triangulaire:
Positivité:
-Si car d est une distance
-Si
Donc
De plus, car d est une distance
Finalement on a montré que :
Symétrie:
Si or si .
Donc (car d est une distance)
Si or si
Par propriété de symétrie de la distance d,
Donc
Finalement, on a montré que
Pour cette partie je suis pas sur de moi,
Inégalité triangulaire:
On veut montrer que
Procédons par disjonction de cas:
Cas 1:
En appliquant la définition de et en utilisant que d est une distance, on a
D'où
Cas 2: (1)
Par définition, (2)
En réunissant (1) et (2), on a donc
2)
Sens direct:
On suppose que converge dans l'espace métrique (X,d) donc on fixe , il existe un rang N strictement positif tel que
En regardant la construction de , on remarque que ce qui me permet de dire que
Autrement dit converge vers x dans (X,)
Sens indirect:
On suppose que converge vers x dans (X,) autrement dit et on prend \epsilon <1.
Si alors à partir de ce rang n, on peut écrire
D'où
Autrement dit converge vers x dans
3)
Sens direct:
On suppose que (X,d) est complet donc n'importe quelle suite de cauchy converge dans (X,d). D'après la question précédante elle va aussi converger dans (X,d).
Sens indirect:
On suppose que est complet.
C'est ici que je bloque je vois pas trop l'arguement
salut
je note d* pour
pour la symétrie il me semble que tu te compliques les choses :
d est une distance donc d est symétrique donc :
d* (x, y) = inf { 1, d(x, y) } = inf { 1 , d(y, x)} = d*(y, x)
pour l'inégalité triangulaire idem (je ne sais pas ci ce que tu as fais est exact mais ce qui suit le "par définition dans le cas 2 me semble suspect)
je ferai aussi une disjonction de cas ... mais sur d*(x, y) :
1/ d*(x, z) 1 : d*(x, z) = d(x, z) puis trois cas
2/ d*(x, z) 1 : d*(x, z) = 1 puis trois cas
3/ il me semble que 3/ est une conséquence directe de 2/ sans même avoir besoin de parler de suite de Cauchy ...
ou alors il suffit de montrer que si (x_n) est une suite de Cauchy dans (X, d*) alors c'est une suite de Cauchy dans (X, d)
et il n'y a qu'une implication à démontrer
Bonjour carpediem !
Que signifit la notation inf{ }
Ce que j'entends par le définition c'est que soit d*(x,y) = d(x,y) <1 soit
d*(x,y)=1 donc dans tous les cas d*(x,y) <=1 .
D'où d*(x,z) <=1 <d(x,y)+d(y,z)
Est ce que cela semble toujours suspect présenter comme ceci?
3) Oui c'est ce que j'ai fais, merci je ne sais pas pourquoi je me suis persuadé qu'il y avait les deux sens à faire !
Ok je viens de voir que ta notation signifie borne inférieur, mais cette définition de distance et celle de l'énoncé ne sont t-elles pas différentes?
en fait j'aurai pu écrire aussi :
d* (x, y) = min { 1, d(x, y)} puisque l'inf d'un ensemble fini est son minimum
Pour l'inégalité triangulaire, on peut faire sans distinction de cas, par l'absurde. Je note pour ma part.
Supposons trouvés tels que .
Comme est majorée par , on a et donc et .
Mais alors, donc . Absurde
Je vois ! En ce qui concernant mon approche pour l'inégalité triangulaire , est ce le raisonnement est juste ?
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